Inégalité 05

Dans un triangle ABC, montrer que cosA+cosB+cosC=<3/2

supposons que A>=B>=C
on distingue deux cas
1) A>pi/2
cos concave sur [0,pi/2]
alors 1/2(cosB+cosC)=<cos[(B+C) /2 ]
=>(cosB+cosC)=<2sinA/2 (car A=pi -(B+C) )
==> cosA+cosB+cosC =< cosA+sinA/2 =-2(sin(A/2) -1/2)+3/2 =< 3/2
2)- A=<pi/2
cos concave sur [0,pi/2]
alors
1/3(cosA+cosB+cosC) =< cos[(A+B+C)/3]
==>(cosA+cosB+cosC) =< 3cos[pi/3] = 3/2

Bonjour abdelbaki et samir;
Notons C=cos(A)+cos(B)+cos(C)
Avec x=(cos(B)+cos(C))/2 , y=(cos(A)+cos(C))/2 et z=(cos(A)+cos(B))/2 on a
C=x+y+z=cos((B-C)/2)sin(A/2)+cos((A-C)/2)sin(B/2)+cos((A-B)/2)sin(C/2) donc
C <= sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) <= 3sin((A+B+C)/6) = 3/2 (sauf erreurs bien entendu)

elegante solution ELHOR

Merci SAMIR

on sait que : cosA+cosB+cosC=1+r/R et que R>=2r
alors cosA+cosB+cosC<=1+1/2=3/2

pr les élèves qui veulent passer les épreuv d olympiades : c interessant de connaitre ces formules : cosA+cosB+cosC=1+r/R et R>=2r