qui saura resoudre cette equation d'olympiades ?

salut , voilà un bon exo d'olympiades :
resoudre dans R*R v(x-y^2)+v(y-x^2)=1
v(..) = racine carrée
bonne chance

salut
on remarque que x et y joue le méme role
alors on prend x=y et on trouve que

V(x-x²) = 1/2
x - x² = 1/4
x² - x +1/4 = 0
(x-1/2 )² = 0
donc
x = y = 1/2

c juste, mais il faut aussi etudier le cas de x#y, c là où y a problème
si x et y jouent un rôle symetrique, cela ne veut pas forcément dire que x=y
par exemple : (x-2y)+(y-2x)=-5
x et y ont un role symetrique, pourtant le couple ( 2,3) est une solution, meme si 2#3

Je suis arrivé à 0=<x<1 et 0=<y<1

c juste , tu es sur la bonne piste

pouvez-vous poster la réponse compléte ??

je préfère attendre un ou deux jours, si personne ne devine la bonne reponse; je donnerai la solution
( de toute façon, koutaiba, ton resultat est juste c bien (1/2;1/2) mais faut démontrer que ces les seules solutions )

voilà un deuxième exo d'olympiades :
montrez que f est périodique et determinez sa periode :
f (x+2) = f(x-1)*f(x+5)

milor18 a écrit:

salut , voilà un bon exo d'olympiades :
resoudre dans R*R v(x-y^2)+v(y-x^2)=1 (*)
v(..) = racine carrée
bonne chance

il est clair que 0<=x<1 et 0<=y<1

puis sqrt(x-y^2) + sqrt(y-x^2) <= sqrt( 2 (x+y-x^2-y^2))

==> x+y-x^2-y^2>= 1/2 ==> x+y >= x^2+y^2+1/2 ==> x+y >= (x+y)^2/2 +1/2 <=> (x+y-1)^2<=0 ==> x+y=1 (**)

en levant (*) au carré : x+y-(x^2+y^2) + 2sqrt(x-y^2)(y-x^2)=1
<=> 2sqrt(x-y^2)(y-x^2)= x^2+y^2
<=> (x^2+y^2)^2= 4 (x-y^2)(y-x^2)
posons (x,y):=(x^2+y^2)^2-4(x-y^2)(y-x^2)
P(x,y)=P(x,1-x) = 5(2x-1)^2 , puisque P(x,y)=0 ==> x=1/2 et par suite y=1/2 C.Q.F.D

milor18 a écrit:

voilà un deuxième exo d'olympiades :
montrez que f est périodique et determinez sa periode :
f (x+2) = f(x-1)*f(x+5)

f (x+2) = f(x-1)*f(x+5) ==>f (x) = f(x-3)*f(x+3)==>
f (x+3) = f(x)*f(x+6)
=f(x-3)*f(x+3)*f(x+6)===>
1= f(x+6)*f(x-3)==>1= f(x+9)*f(x)==>f(x)=1 /f(x+9)==>
f(x+9)=1 /f(x+18 )==>1/f(x)=1 /f(x+18 )==>f(x)=f(x+18 ) dc f est periodique de periode 18
b1 sur on doit supser que f(x)#0 et j attends votre vegilence !

bravo les amis, vous avez fait du bon boulot
pr neutrino : explique stp pourquoi v(x-y^2)+v(y-x^2)<=v(2(x+y-x^2-y^)
j'avais procédé autrement, moi :
on va etudier le cas x<y, et puisque x et y appartiennent à (0,1(
x^2<x<y^2<y, ce qui veut dire que x-y^2<0, ce qui est impossible car x-y^2 est sous la racine
il est inutile d'etudier le cas de x>y car on a une symetrie des roles, donc x=y
on conclut que x=y=1/2

x^2<x<y^2<y n'est pas toujours vrai. Prends x=0,3 et y=0,5

non, mais dans l'enoncé de l'exercice on doit avoir x<y^2
car x-y^2 est sous la racine
et puisque 0<x<1 : x^2<x , et de meme pr y
ok ?

Ah oui! J'avais oublié!

voila la repons je crois



v(x+y²)-1/2 + v(y+x²)-1/2 = 0

v(x+y²)-1/2 >= 0

v(y+x²)-1/2 >=0

remarque que c v(x-y^2) et non v(x+y^2)
et puis a+b>=0 n'implique pas forcément que a >=0 et b >= 0
j'ai donné la solution un peu plus haut