continuité

1. Soit f une fonction continue et injective sur [a.b] .
Montrer que f est strictement monotone .

2 . soit f une fonction continue est décroissante sur IR .
montrer que f admet un point fixe

1) est facile
2) Utilise le fait qu'une telle fonction admet forcément des limites en +OO et -OO... ça pourrait servir si tu comptes utiliser la fonction f(x)-x

bonsoir

pour 2) il suffit de montrer que f(x) -x change de signe:

soit a < b donc f(a) > f(b)

par l'asurde : supposons que f(x)- x est toujours >0

donc f(a)> a et f(b)>b

On aura alors l'ordre : a < b < f(b) < f(a)

Fixons a et faisons tendre b vers +inf

lim f(b)= +inf d'une part et f(b) majoré par f(a) d'autre part absurde

DE même si l'on avait suposé que : f(x) -x est toujours < 0

conclusion :
f(x) -x change de signe et comme fest continue sur IR
l'équation f(x)-x =0 admet au moins une solution dans IR.

houssa a écrit:

Fixons a et faisons tendre b vers +inf

lim f(b)= +inf

f est décroissante, -x aussi, f-x est donc décroissante...
La limite en +inf (qui existe par monotonie!) ne peut donc pas être +inf!

Salut ^^
Pour la premiere question peut on considéré la fameuse fonction f(t)=(at+(1-t)b) ? et utiliser la définition d'une fonction non monotone ?

Le plus simple, c'est de le faire par l'absurde...

f n'est pas monotone équivaut à l'existence de a<b<c avec f(a)<f(b) et f(c)<f(b), ou l'inverse, mais les 2 cas se traitent de la même façon.

Donc, si f(a)<f(c) alors f(c) est atteint sur [a,b] par le TVI, et si f(a)>f(c)...