Continuité

soient f et g deux applications continues sur I = [a,b]. On définit une application h sur IR par :
h(x)=Sup ( f(t) + x.g(t) ), (t £ I)
Montrer que h est continue sur IR.

h est lipschitzienne

f et g sont continues sur un intervalle fermé donc la fonction

f(t)+xg(t)

atteint son maximum en t_x

tu as donc

h(x)=f(t_x)+xg(t_x)

Maintenant en utilisant le fait que h(y)>f(t)-yg(t), on a pout tout t dans [a,b]

h(x)-h(y) <= f(t_x)+xg(t_x)-f(t)-yg(t)
<=f(t_x)-f(t)+(x-y)g(t)+x(g(t_x)-g(t))

Comme le choix de t est libre on pose t=t_x donc

h(x)-h(y) <= (x-y)g(t_x)

Tu fais une estimation du même genre pour h(y)-h(x) et tu trouves finalement en mettant des valeurs absolues que

|h(x)-h(y)| <= sup(g)|x-y|

donc h est continue.

Voilou!!

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