continuite

montrer que toute fonction definie dans un seul point est continu

contiue sur quoi??

la fonction definie ds une seule point alors on étudier la continuité dns cette point . et claire qu'elle est continue

parceque epsilon ne depends plus de rien??

maybachhh a écrit:

montrer que toute fonction definie dans un seul point est continu

BSR à Toutes et Tous !!
BSR maybachhh !!

Les applications de Z ( ou d'une partie non vide de Z ) et d'une manière générale d'un ensemble non vide et discret de points à valeurs dans IR sont CONTINUES toujours ; car ces points là sont dits isolés !!!

Prenons f définie sur I à valeurs dans IR avec I=[0;1] union {2}
Il est clair que l'on sait définir :
La continuité à DROITE au point 0 ,
La continuité à GAUCHE au point 1 ,
La continuité aux points de ]0;1[ ,
Mais au point 2 qui est un point ISOLE de I , f est CONTINUE car la définition est vérifiée :
Pour tout EPSILON > 0 il existe ETA >0 ( tu peux prendre ETA=1/4 par exemple ) tel que :
pour tout x dans I vérifiant |x-2|<ETA ( on en a qu'un seul x c'est x=2 )
alors |f(x)-f(2)|<EPSILON ( qui est VRAI puisque le seul x c'est 2 et on a |f(2)-f(2)|=0<EPSILON toujours !!!)

Pensant t'avoir apporté 1 peu de lumière .

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

maybachhh a écrit:

montrer que toute fonction definie dans un seul point est continu

BSR à Toutes et Tous !!
BSR maybachhh !!

Les applications de Z ( ou d'une partie non vide de Z ) et d'une manière générale d'un ensemble non vide et discret de points à valeurs dans IR sont CONTINUES toujours ; car ces points là sont dits isolés !!!

Prenons f définie sur I à valeurs dans IR avec I=[0;1] union {2}
Il est clair que l'on sait définir :
La continuité à DROITE au point 0 ,
La continuité à GAUCHE au point 1 ,
La continuité aux points de ]0;1[ ,
Mais au point 2 qui est un point ISOLE de I , f est CONTINUE car la définition est vérifiée :
Pour tout EPSILON > 0 il existe ETA >0 ( tu peux prendre ETA=1/4 par exemple ) tel que :
pour tout x dans I vérifiant |x-2|<ETA ( on en a qu'un seul x c'est x=2 )
alors |f(x)-f(2)|<EPSILON ( qui est VRAI puisque le seul x c'est 2 et on a |f(2)-f(2)|=0<EPSILON toujours !!!)

Pensant t'avoir apporté 1 peu de lumière .

LHASSANE

desolé , je pense que c'est faux ça ( je ne suis pas le seul ) ,tu ne peut pas appliquer la définition de la continuté , car si tu revient à sa définition on a toujours définie l'intervale I comme étant un intervale de R qui n'est pas réduit à un point (qui est le cas içi) et lorsqu'on parle d'une continuité on parle plutot sur le comportement des valeurs prises par f lorsque qu'un x s'aproche de ce point qui est 2, dans notre cas le plus proche est 1 qui est loin! et |x-2| n'existe pas car tu parle d'un x qui n'a pas d'existence . geometriquement n'importe quel shema fait l'affaire .

Justement, si on raisonne géométriquement...

Qu'est-ce qu'est une application continue? Tout simplement une application dont le graphe peut être dessiné d'un seul coup de crayon, sans JAMAIS lever le crayon de la feuille...

Or est-ce le cas quand on dessine un point? bien sur que oui!
Donc géométriquement au moins, notre application n'a aucune raison de ne pas être continue... analytiquement, voir 2 posts au dessus ^^

analytiquement j ai bien compris mais geometriquement est ce que ta definition d une fonction continu est generale ou s applique seulement si I est un intervalle non reduit a un point.

en suivant ta definition effectivement on leve le crayon pour dessiner ce fameux point 2 dans l exemple donne par mr oeil de lynx

on n'a jamais dit que l'intervalle doit etre non réduit à un singleton

mahmoud16 a écrit:

.....Desolé , je pense que c'est faux ça ( je ne suis pas le seul ) ,tu ne peut pas appliquer la définition de la continuté , car si tu revient à sa définition on a toujours définie l'intervale I comme étant un intervale de R qui n'est pas réduit à un point (qui est le cas içi) et lorsqu'on parle d'une continuité on parle plutot sur le comportement des valeurs prises par f lorsque qu'un x s'aproche de ce point qui est 2, dans notre cas le plus proche est 1 qui est loin! et |x-2| n'existe pas car tu parle d'un x qui n'a pas d'existence . geometriquement n'importe quel shema fait l'affaire .

BJR à Toutes et Tous !!
BJR mahmoud16 !!
Loin de moi l'idée d'engager une quelconque polémique avec toi à ce sujet !! Je peux concevoir que TU NE SOIS PAS D'ACCORD AVEC MOI mais rajouter << ...faux ça ( je ne suis pas le seul ) >> !!
Cela tu ne peux le savoir ?? !!!
Les points ISOLES ont toujours causé des soucis en didactique des mathématiques au niveau du Lycée !!!
Dans les manuels scolaires de BAC et même de BAC+2 , la continuité est introduite pour les applications définies sur un INTERVALLE non vide de IR car d’autres résultats tel le TVI par exemple perdent leur validité s’il y a des points isolés !!!!!
Dans le Supérieur BAC+3 , on travaille sur des Espaces Topologiques et hamzaaa connait très B1 la chose et on a aucun problème !!
Pour revenir à mon exemple I=[0;1] union {2}
Disons que si on veut éviter les problèmes , on opérerait ainsi :
On prolonge f de la manière suivante à IR tout entier selon F en posant :
F(x)=f(0) si x<0 , F(x)=f(2) si x>2
puis entre 1 et 2 on choisirait le prolongement affine c'est à dire :
Si 1=<x=<2 alors F(x)=f(1)+(x-1).{f(2)-f(1)}
De cette manière , étudier la continuité de f sur I revient à étudier la continuité de F sur IR .
En conclusion : je reste convaicu que la définition de la continuité est SATISFAITE par mon point isolé 2 et je l’ai expliqué dans mon Post plus haut !!

LHASSANE

d'abord , si j'ai dis "je ne suis pas le seul" c'est pas pour augmenter mes justifications , mais pour montrer que je parle d'une chose deja traité plusieurs fois lorsque nous étions au bac (je me souviens bien d'un examen de bac des academies qui traite le mm probleme en posons la question "montrer la discontinuité de f " ) ,de plus dans mon premier année de sup notre prof ns a posé la meme question à l'occasion d'un exo et la reponse était aussi similaire que j'ai deja dis en haut , (euh je suppose que mon prof connait par coeur son programe et notamment les espaces topologique que tu as deja mis en evidence).
en ce qui concerne la continuité que tu as deja evoqué elle concerne un INTTERVALLE de R mais qui contient au moins deux element (en fait s'il contien a et b alors il contient [a,b] par sa convexité) et cette définition est dans tous les livres de sup , enfin étudier la continuité de f n'est pas la meme chose que F étant donné que tu l'a deja prolonger par continuité

J'ai dit précédemment :
<< Les points ISOLES ont toujours causé des soucis en didactique des mathématiques au niveau du Lycée !!! >>
Au niveau des classes BAC et même Sup , la continuité en un point a de Df exige en fait que le point a soit UN POINT D'ACCUMULATION de Df ( c'est à dire UN POINT ADHERENT qui n'est pas ISOLE ) ou en d'autres termes plus clairs :
Pour tout r >0 assez petit ]a-r;a+r[ rencontre Df en un point autre que a .

MAINTENANT , je te propose cette définition :
Soit f une application de J partie non vide de IR à valeurs dans IR et a un élément de J
On dit que f est continue en un point a de J si :
Pour tout EPS >0 , il existe ETA >0 tel que
pour tout x dans J vérifiant |x-a|< ETA alors |f(x)-f(a)|<EPS .

Que penses-tu de cette définition ??
qui prend en charge celle que tu connais lorsque J est un INTERVALLE et qui nous permet de récupérer la continuité d'OFFICE de f aux points isolés éventuels de J .
On ne parlera du DESSIN & CRAYON ( Interprêtation géométrique ) que lorsque J est un intervalle !!!

LHASSANE

PS1: Tu as dit :
<< lorsqu'on parle d'une continuité on parle plutot sur le comportement des valeurs prises par f lorsque qu'un x s'aproche de ce point qui est 2, dans notre cas le plus proche est 1 qui est loin! et |x-2| n'existe pas car tu parle d'un x qui n'a pas d'existence . geometriquement n'importe quel shema fait l'affaire >>

DSL ! Mais le point de I le plus voisin de 2 c'est bien 2 jusqu'à preuve du contraire puisque 2 est dans I !!!
Tu sais très B1 puisque tu es en Sup-Spés que :
{d(a;I)=0} <====> {a est adhérent à I }
d(a;I) c'est Inf{ |x-a| ; x dans I } est la distance de a à I.

PS2 : Tu as dit aussi :
<< (euh je suppose que mon prof connait par coeur son programe et notamment les espaces topologique que tu as deja mis en evidence).>>

Ce n'est pas très FLATTEUR pour ton Prof , pour quelqu'un qui est censé expliquer et débattre la moindre définition ......

maybachhh a écrit:

analytiquement j ai bien compris mais geometriquement est ce que ta definition d une fonction continu est generale ou s applique seulement si I est un intervalle non reduit a un point.

en suivant ta definition effectivement on leve le crayon pour dessiner ce fameux point 2 dans l exemple donne par mr oeil de lynx

BSR à Toutes et Tous !!
BSR maybachhh !!
Cette interprêtation géométrique ( Le Crayon etc ..... ) vous a été donnée par vos Profs car I est un intervalle ( donc CONNEXE car CONVEXE )
Mais prends donc l'application f suivante :
f : x ---------> f(x)=1 sur Df=[0;1] union [5;6]
Eh Bien cette fonction est bien continue sur son domaine de définition ; pourtant si tu pars avec ton crayon du point (0;1) tu atteindras seulement sans lever ton crayon le point (1;1)

LHASSANE

Oui c vrai,alors
f est continue dans I n'implique pas que <tracer Cf sans lever le crayon>?!

ce que je veux savoir est le suivant : est ce que ca entre dans le programme du lycée ou non ?

Citation :

montrer que toute fonction definie dans un seul point est continu

bon si on réfléchi correctement a la notion de continuité , la démonstration que tu demandes et trivial si la fonction est défini sur le point j'imagine que le point et la fonction elle même quand tu la traces donc il est forcement continu corrigé moi svp si je dis des conneries [la notion de continuité dans un point ne reflaite pas vraiment l'importance réel de la continuité ]