continuité et lim

bonjour tout le monde
seulement pour ter et math sup.
soit f une fonction définie sur IR continue en zéro ;
f(o)=1 et f(x)= f(x/2) cos(x/2) pour tout x réel non nul.
determinez f(x) explicitement.
bon courage.
si vous séchez aprés avoir réflichi la solution sera posté.
aissa

je pense que f(x)=sin(x)/x est une solution du probleme

slt a tout le monde
c
{f(x)=sin(x)/x
{f(o)=1 continue en 0

cette relation est semblable à : sin (x) = 2 sin(x/2)*cos(x/2) :
divisons les deux cotés par x : sin (x) /x = sin(x/2)/(x/2) * cos (x/2)

puisque : lim x--> 0 sin (x)/x = 1 = f(0)
sin (x)/x est continue à 0
conclusion :
f(x) = sin (x)/x , x appartient à IR*
f(0) = 1
merci pour l'exos aissa

bonjour tout le monde
satut oumzil oui cest bien a.
pour x<>0[pi] et n entier >1 on a
f(x)= f(x/2^n)cos(x/2).....cos(x/2^n) qu on verifit facilement.
on multiplie et divise par le produit: sn(x/2).....sin(x/2^n)
et on utilise : sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2) et aprs simplification;
on aura f(x)=f(x/2^n) (sin(x)/x)*[(x/2^n)/sin(x/2^n)]
en faisant tendre n vers +00 et la continuit de f en zero on aura :
f(x)=f(o)*sinx)/x....
donc f(x)=sin(x)/x si x <>o et f(o)=1...