CONTINUITE

BONSOIR TS LE MONDE!!!
EX1
f est une fonction continue sur IR tel ke (qq soi x£IR) f(x)=/=x
Démontrer ke lékwation fof(x)=x
EX2
f est continu sur [0;1] et f(1)=f(0)
qq soi n£IN et n>=2 la fonction Fn est définie [0;1-1/n]
Fn(x)=f(x+1/n)-f(x)
1) Calcule SIGMA(n-1)(k=0)Fn(k/n)
2)Démontrer il exist c£]0;1[ f(c)=f(c+1/n)

Référence (ex1 (ex72p42) ex2(ex91p44)(livre almoufid
Merci davance!!!

salut miriam !
pour le premier :
f(x)<x ou f(x)>x donc f(f(x))>f(x) ou bien f(fx))<f(x)
donc fof(x)=x n'admet aucune solution dans IR !
PS : i ya d'autes facons de demontrer la meme chse :
1*par labsurde
2*tu suppose que f est constante puis si elle est monotone donc bijective ...
3* je vais rechercher si elle existe !

de rien !

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Petite Miriam !!
Pour ton premier exo , j'aurai fait comme celà !!
je considère la fonction g définie sur IR à valeurs dans IR de la manière suivante :
g(x)=f(x)-x pour tout x dans IR
Il résulte des hypothèses sur f que g est CONTINUE sur IR et qu'elle a UN SIGNE CONSTANT sur IR c'est à dire que l'on a :
Soit g(x)>0 partout sur IR
Soit g(x)<0 partout sur IR
Sinon , s'il existe a et b dans IR tels que g(a)>0 et g(b)<0 alors on appliquera le TVI à g sur [a;b] ou [b;a] selon que a<b ou a>b
et ce Théorème donnera l'existence de d tel que g(d)=0 c'est à dire
f(d)=d ce qui est absurde !!

Supposons par exemple que : g(x)>0 pour tout x dans IR
Faisons un raisonnement par l'absurde : s'il existe un nombre c dans IR tel que fof(c)=c alors :
puisque : f(x)>x pour tout x dans IR (*)

On fait x=f(c) dans (*) , f(f(c))>f(c) soit fof(c)>f(c) donc c>f(c)
On fait x=c dans (*) donc aussi f(c)>c

CE QUI EST CONTRADICTOIRE !!

On fera le même raisonnement lorsque g(x)<0 pour tout x dans IR

_Bigbobcarter_ a écrit:

..........pour le premier :
f(x)<x ou f(x)>x donc f(f(x))>f(x) ou bien f(fx))<f(x)
donc fof(x)=x n'admet aucune solution dans IR !..........

BSR _Bigbobcarter_ !!
Sans aucune animosité de ma part !!
Je trouve ce que tu as écrit << un peu léger >> !!!
Celà mérite un peu plus d'explications sans doute ....
Perso , celà n'est pas convaincant du tout !!

Salut Mr lhassane !
si f(x)#x veut dire que soit f(x)>x soit f(x)<x !
donc en remplacant x par f(x) on obtient f(f(x))>f(x) oubien f(f(x))<f(x) ce qui me semble logique,vrai et simple !

stp si je te suis bien tu veux dire que si fof(x)#f(x) et que f(x) #x pour tout x alors fof(x)#x?

L a écrit:

stp si je te suis bien tu veux dire que si fof(x)#f(x) et que f(x) #x pour tout x alors fof(x)#x?

oui fof(x)#f(x) et f(x)#x
donc fof(x)#x !!
ca n'appaait pas comme ca bien mais avec les signes >et < chaque cas tt seul ca devient a mon avis juste !

ceci est si f est monotone ... . si elle est constante f(x)=a
fof(x)=f(a)=a
contradiction f(x)#x

le probleme (tu le sais bien) si c#a et a#b nimplique pas c#b car c peut etre b
sauf erreur

_Bigbobcarter_ a écrit:

Salut Mr lhassane !
si f(x)#x veut dire que soit f(x)>x soit f(x)<x !
donc en remplacant x par f(x) on obtient f(f(x))>f(x) oubien f(f(x))<f(x) ce qui me semble logique,vrai et simple !

BJR à Toutes et Tous !!
BJR _Bigbobcarter_ !
Je pense que tu n'a pas saisi ce que je veux dire !
Je voulais te dire que :
Si pour tout x dans IR on a f(x)<>x
Il se peut fort bien que pour un élément a de IR on ait f(a)<a
et pour un autre b on ait f(b)>b
et c'est cette éventualité que l'on élimine grâce précisément à l'utilisation du TVI appliqué à g : x------> g(x)=f(x)-x
PAR CONSEQUENT , l'hypothèse sur f
<< Pour tout x dans IR on a f(x)<>x >>
impliquera bien :
Pour tout x dans IR f(x)>x
OU ( dans le sens EXCLUSIF )
Pour tout x dans IR f(x)<x
Tu vois !! et celà demande du travail , car ce n'est pas évident !!!

oui tout a fait Mr LHASSANE je suis d'accord avec vous sur ce point là mais n'empeche que lidee de la methode est vraie mais elle doit etre autrement formulé avec des conditions !
je propose une autre methode :
SI f(x) est monotne dnc f est bijective donc : x=f(x)=f^-1(x)
et cela ne se produit que si f(x)=1/x ou f(x)=x ces deux cas ne sont pas accessibles parceque f(x)#x et f est continue sur IR et pas sur IR* donc f(x)#1/x
donc on ne peut pas avoir fof(x)=x !!!

j'ai une autre méthode
on pose h(x)=f(x)-x =>
h continue sur IR
f(x)=/=x et h continue =>h<0 (qq x £ IR) OU h>0 (qq x £ IR)
soit h<0 (qq x £ IR)
hof(x)=fof(x)-f(x)<0 et h(x)=f(x)-x<0 =>
h(x)+hof(x)=fof(x)-x<0=>fof(x)=/=x
la même chose pour h>0

ex2 question 1 je pense que tu la trouvé
question 2 use l' absurde