Problème de la semaine N°169 (19/01/2009-25/01/2009)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

solution posté
on sait que pour tout k appartient à {1,2,...,n} (k^2)^2<k^4+k^2+1<(k^2+1)^2
donc k^4+k^2+1 n'est pas un carré parfait pour tout k appartient à {1,2,...,n}.
et par suite le produit de ces nombres ne sera pas un carrée parfait.

solution postée
remarquons que :



et que :



donc :



donc pour que A soit un carré parfait il faut que n²+n+1 soit aussi un carré parfait ;
or :

(n)²<n²+n+1<(n+1)²

donc n²+n+1 est strictement compri entre 2 carré consicutifs donc ne peut pas etre un carré , la conclusion en decoule

Solution postée
Bonjour, on pose pour tout entier k>=0 , f(k)=k²+k+1.
==> pour tout k>0, f(k-1)f(k)=k^4+k^2+1.
==> (prod,1,n)[k^4+k^2+1]= f(1)²f(2)²...f(n-1)²f(n) (car f(0)=1)
Donc (prod,1,n)[k^4+k^2+1] est un carré parfait <==> f(n) l'est
mais qqs n>0, n²<f(n)<(n+1)² d'où le résultat.
A+

Solution postée
on considère qu'il existe un n tel que PI ( k^4+k^2+1)(k allant de 1 jusqu'a n) est 1 carré parfait
on a k^4+k^2+1= (k^2-k+1) (k^2+k+1)
donc
S=PI (k^2+k+1) (k allant de 1 jusqu'à n) * PI(k^2+k+1)(k allant 1 jusqu'à n-1)=(PI (k^2+k+1))^2 (k: 1----> n-1) * (n^2+n+1)

donc si S est un carré parfait n^2+n+1 est une carré parfait
il existe un p appartenant a lN tel que n²+n+1=p²
d'ou (n+1/2)² - p² = -3/4 et p>n+1
p² - (n+1/2)² =3/4
(p-n-1/2)(p+n+1/2)=3/4
d'ou
(2p-2n-1)(2p+2n+1)=3
on aura donc 1 système d'équations
2p+2n+1=3 et 2p-2n-1=1
2p+2n=2 et 2p-2n=2
p+n=1 et p-n=1
donc 2n=0 d'où n=0
contradiction car n >= 1
d'où le résultat demandé

solution postée
on definit le produit par P(1->n)(ai)=a1*a2*...an

P(1->n)(K^4+k^2+1)=P(1->n)((k²+k+1)(k²-k+1))
=P(1->n)(k²-k+1)*P(k²+k+1)

P(1->n)(k²-k+1)=P(0->n-1)(k²+k+1)

donc P(1->n)(K^4+k^2+1)=P(0->n-1)((k²+k+1)P(1->n)((k²+k+1)
=[P(1->n-1)((k²+k+1)]²(n²+n+1)donc il suffit de montrer que n²+n+1 n'est pas un carré parfait

n²+n+1=q² delta=4q²-3 pour que l'equation admet des solution au N il est necessaire que 4q²-3 soit une carre parfait (on discute les q=4k+1;4k+2;4k+3;4k+4) et on deduit que c'est impossible