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 Olympiade : Fonctions

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Chessmaster
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MessageSujet: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 14:59

Bonjour,

Voici un autre exercice d'olympiade assez facile :

Déterminez toutes les fonctions vérifiant :
f(x²+y)=f(x)+f(y²) pour tout (x;y) £ R²

Bonne chance
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Perelman
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:04

on calcule f(0)=0
et on prends y=0 alors: f(x^2)=f(x) et x^2#xt ==> f constante.

f(0)=0 ==> f(x)=0.
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:13

Pour tout x£R : f(x²)=f(x) n'implique pas forcément que f est constante.
f(x)=0 oui c'est juste c'est la seule fonction qui vérifie l'équation, mais il faut trouver cette valeur d'une autre manière.
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Perelman
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:15

x^2 # x ===> f fonction constante.

si c'est pas le cas, donner un contre exemple.
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milor18
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:16

remplaçons y par -x^2 : on obtient : f(0)=f(x)+f(x^4)=0
et on a f(x)=f(x^2) donc f(x^4)=f(x^2)
d'où : f(x)=f(x^2)=-f(x^2)
donc f(x) = 0
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:21

ou bien on a f(x)=f(x^2) et f(x^4)=f(x^2) donc f(x)=f(x^4) avec f(x)+f(x^4)=0 donc 2f(x)=0 d'où f(x)=0
De toutes les façons c'est juste.
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Perelman
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:22

lol je veux un contre exemple.
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:30

D'accord je n'ai pas de contre-exemple, mais ta réponse reste incomplète vu que tu n'as pas démontré que f(x)=f(x²) pour tout x £ R implique que f est constante d'où le résultat, chaque chose doit être détaillé.
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Perelman
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 15:32

lol on a f(x^2)=f(x) et x est motaghayer .... c'est infiniment triviale.
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Perelman
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MessageSujet: Re: Olympiade : Fonctions   Mar 09 Déc 2008, 16:04

pour montrer que f est constante:

on calcule Tf en prenant x=x et y=x^2 car x#x^2.

Tf=f(x)-f(x^2) / x-x^2
=0 / x-x^2 car f(x^2)=f(x).
TVf=0 donc TV est constant alors f affine d'un coefficient 0
alors f(x)=ax+b=0+b=b et on a f(0)=0 ==> f(x)=0 Wink
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