problème N°46 de la semaine (11/09/2006-17/09/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
A+
voici la solution de Mahdi
Salam
on developpe l'expres​sion(a+b+c)^3 on obtient alors 2abc=24 donc abc=12

slt solution postè A+
voici la solution de saiif3301
slt voila ma rèponce on a a+b+c=-1 et a²+b²+c²=17 alors en dèduit que
ab+bc+ac=-8 alors on a abc+bc²+ac²=-8c et a²b+abc+a²c=-8a et ab²+b²c+abc=-8b
alors 3abc +bc²+ac²+a²b+a²c+ab²+b²c=-8(a+b+c)=8 on met
A=bc²+ac²+a²b+a²c+ab²+b²c et on a (a+b+c)(a²+b²+c²)=-17 alors avec le calcul
on aura a^3+b^3+c^3+A=-17 alors A=-28 alors 3abc+A=8 ca veut dire
3abc=8-A=8+28=36 alors abc=12 de saiif3301

Solution postée A+
solution non trouvée parmis mes mails(administrateur)

Salut !

Solution postée


voici la solution de thomas

On remarque que a, b et c jouent des rôles symétriques.
On pose donc les quantités x=a+b+c , y=ab+bc+ac et z=abc

On a : x=-1 et x²=1=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac) donc 1=17+2y donc y=-8

Or,
(a+b+c)(ab+bc+ac)=3abc-(a²+b²+c²)-(a^3+b^3+c^3)=3abc+a²(b+c)+b²(a+c)+c²(b+a)
Avec la relation a+b+c=-1, on a donc 8=3z-17-11 soit z=12

D'où abc=12


A+

saluté,
solution postée

voici la solution de lotfi
bonjorno,
on a : a+b+c=-1.
a²+b²+c²=17.
a^3+b^3+c^3=11.

avec: a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ac)=17.(a+b+c=-1)
donc: -2(ab+bc+ac)=16.
ab+bc+ac=-8.

on a aussi: a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a²b+a²c+b²a+b²c+c²b+c²a)=11.(a+b+c=-1)
a²b+a²c+b²a+b²c+c²b+c²a=-4.
donc: ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)=-4.
on a : a+b=-1-c et a+c=-1-b et b+c=-1-a

donc: ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)=-3abc-(ab+bc+ac)=-4.
-3abc+8=-4.( ab+bc+ac=-8.)
-3abc=-12.

finallement: abc=4.

salam.
solution postée.
goodbye.
solution non trouvée parmis mes mails(administrateur)

salut
solution postée
a+
solution non trouvée parmis mes mails(administrateur)

bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelilah
notations: (1) a+b+c=-1
(2) a^2+b^2+c^2=17
(3)a^3+b^3+c^3=11
en multipliant (1) par a , b et c respectivement et en utilisant (2) on obtient : (4) ab+bc+ca=-8
elevons (1) a la puisance 3 on obtient (*) -4=a^2(b+c)+a(b+c)^2+b^2 * c+ b*c^2.
factorisons et utilisant (1) on obtient -4=-a(b+c)+bc(b+c) d'ou par (1) une autre fois:
4=bc-a+abc-a^2
par symetrie dans (*) (interchangeabilitée des roles de a , b et c) on a aussi:
4=ab-c+abc-c^2
4=ca-b+abc-b^2
ces trois derniers egalites donnent vu (4):
12=-8+1-17+3abc.
d'ou abc=12.
abdelilah

Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de kendor
Il s'agit d'un exercice sur les sommes symétriques.
Soient trois réels a,b,c
On note S1=a+b+c,S2=a^2+b^2+c^2,S3=a^3+b^3+c^3
On notera T1=S1=a+b+c,T2=ab+ac+bc,T3=abc
On a S1=-1,S2=17 et S3=11.
On se propose de calculer T3.

Par le calcul on montre que S1^2=S2+2T2
Donc T2=-8

On montre,toujours par le calcul,que S1^3=S3-3T3+3T1T2
D'où T3=abc=12.

Remarque:le triplet T3 étant non nul,aucun des facteurs n'est nul.
T1 étant négatif,il en existe un qui est négatif.
T3 étant positif,deux sont négatifs.
(-2,-2,3) est l'un des triplets possibles car il vérifie les équations.

Kendor

Bonjour
Solution postée
voici la solutiond'abdelbaki
(a+b+c)^3=3(a²+b²+c²)(a+b+c)-2(a^3+b^3+c^3)+6abc
-1=-51-22+6abc ==> 6abc=72 ==> abc=12

A+

solution postee
voici la solution de kalm
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc)
<=>-4=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)+2abc
<=>24=2abc
<=>abc=12
a+

Bonsoir

solution postée
voici la solution de khamaths
on a: a+b=1-c (1)
a²+b²=17- c² (2)
a^3 +b^3=11- c^3 (3)
De (1) et (2) on a: ab =c²-c-8 (4)
On a: a^3+b^3= (a+b)^3-3ab(a+b)
=(1-c)^3-3ab(1-c)
11-c^3 =1-3c +3c²-c^3-3(c²-c-+ 3abc
En éffectuant les calculs on trouve : [ abc = - 5 ]

ma premiere participation du genre .

solution postée
voici la solution de n°28


(a+b+c)^3 = 1 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 ( a*b^2 + a^2*b + a^2*c + b^2*c +
a*c^2 + b*c^2) +6abc

<=> 1=[a^3+b^3+c^3] + 3[ a( ab+ac) +b(ab+bc)+c(ac+bc) ] + 6abc

puisque a+b+c=1 alors on a :

ab + bc = 1-b^2 ; ba + ca=1-a^2 ; ac+bc = 1-c^2

on a alors :

1= [a^3+b^3+c^3] + 3 [ a(1-a^2) + b(1-b^2) + c(1-c^2) ] +6abc

<=> 1= [a^3+b^3+c^3] +3[ a+b+c - (a^3 + b^3 + c^3)] + 6abc

on remplace par les valuers données :

<=> 1= 11 + 3[1-11] + 6abc
<=> 20=6abc

<=> abc=20/6

<=> abc=10/3 .
.

salut

solution postée
@bientôt
voici la solution de coucou

on a (a+b+c)^2=1
donc 1=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
-16=2(ab+ac+bc)
-8=ab+ac+bc

on a aussi ( a+b+c) (ab+ac+bc)=3abc+a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
donc 8=3abc+a^2(-1-a)+b^2(-1-b)+c^2(-1-c)
8=3abc-(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)
8=3abc-17-11
ce qui donne abc=12

bonjour
solution postée
voici la solution de selfrespect

Salut
On remarque que (a+b+c)3=a3+b3+c3 +3[(a+b+c)(a²+b²+c²)-(a3+b3+c3)]+6abc
On déduit que abc=12

salut
solution postée
solution non trouvée parmis mes mails(administrateur)

solution postee
voici la solution de Rockabdel




a + b + c = -1
a² + b² + c² = 17
a^3+b^3+c^3 =11

On calcule (a+b+c)^3

(a+b+c)^3= a^3 +b^3 +c^3 +3a²b +3a²c +3b²a+3b²c+3ac²+3bc²+6abc

On remplace et a+b+c et a^+b^3+c^3 par leurs valeurs on obtient :

11+ 3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3ac²+3bc²+6abc = -1 A

On calcule ensuite
(a²+b²+c²)(a+b+c) = a^3+b^3+c^3+a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²
On remplace par les valeurs:
11+a²b+a²c+b²c+b²a+bc²+ac²=-17
a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²=-28
donc 3(a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²)=-84
on remplace dans A :
11-84+6abc=-1
Donc 6abc=72
abc=12

Solution postée !
voici la solution d'oumzil
Bonjour ,
Voilà la sollution que je proposes :
On a : (a+b+c)^3 = (a+b)^3 + 3(a+b)²c + 3(a+b)c² + c^3
= a^3 + 3a²b + 3ab² + b^3 + 3a²c + 3b²c + 6abc + 3ac² + 3bc² + c^3
= (a^3+b^3+c^3) + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3b²c + 6abc + 3ac² + 3bc²
= 11 + 3(a²b + ab² + a²c + b²c + ac² + bc² ) + 6abc
= 11 + 9abc - 3abc + 3(a²b + ab² + a²c + b²c + ac² + bc² )
= 11 + 3(a²b + ab² + a²c + b²c + ac² + bc² + 3abc ) - 3abc
= 11 + 3[ ab(a+b+c) + ac(a+b+c) + bc(a+b+c) ] - 3abc
= 11 - 3(ab + ac +bc) - 3abc
et puisque : (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
= 17 + 2(ab+ac+bc)
alors : 17 + 2(ab+ac+bc) = 1 donc : ab+ac+bc = - 8
donc : (a+b+c)^3 = 11 - 3 *(- - 3abc
= 11+24 - 3abc
= 35 - 3abc
alors : 35 - 3abc = - 1
donc : 3abc = 36
et alors : abc = 12

et bonne journée !