Bonjour à tous
Ceci n'est pas un problème mais juste quelques réflexions dont je veux vous faire part.
Je voudrais en fait rappeler qu'une équation fonctionnelle peut avoir plusieurs solutions générales (évidemment équivalentes) et qu'il est souvent impossible de dire si l'une est meilleure qu'une autre.
Rappelons d'abord qu'une solution générale est une forme :
- qui est une solution
- et qui permet de trouver toutes les solutions (c'est à dire que toute solution peut se mettre sous cette forme)
Exemple très simple : trouver une solution générale de l'équation fonctionnelle f(x)=f(-x)
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1) solution 1 :
f(x)=g(x), où g(x) est n'importe quelle fonction paire
évident, simple, et en général acceptable. Cela suppose simplement que le lecteur sait identifier toutes les fonctions paires.
2) solution 2 :
f(x) = g(x) + g(-x), où g(x) est n'importe quelle fonction
Il est facile de voir que toute fonction de cette forme est paire (et donc est solution de l'équation fonctionnelle initiale)
Il est aussi facile de voir que toute fonction paire p(x) peut se mettre sous cette forme. Il suffit d'écrire p(x) = p(x)/2 + p(-x)/2
C'est donc bien une solution générale. Savoir si elle est plus élégante que la solution 1 est affaire de point de vue.
3) solution 3 :
f(x) = g(|x|), où g(x) est n'importe quelle fonction
Il est facile de voir que toute fonction de cette forme est paire (et donc est solution de l'équation fonctionnelle initiale)
Il est aussi facile de voir que toute fonction paire p(x) peut se mettre sous cette forme. Il suffit d'écrire p(x) = p(|x|)
C'est donc bien une solution générale. Savoir si elle est plus élégante que la solution 1 ou la solution 2 est affaire de point de vue.
4) fausse solution 4 :
f(x) = g(x)g(-x), où g(x) est n'importe quelle fonction
Ceci n'est pas une solution générale car :
toute fonction de cette forme est bien solution
MAIS toute solution ne peut pas se mettre sous cette forme : les fonctions paires pour lesquelles f(0) < 0 ne peuvent se mettre sous cette forme
5) bonne solution 5 (correction de la fausse solution 4) :
f(0)=a quelconque
f(x)=g(x)g(-x) pour tout x non nul, g(x) étant une fonction quelconque
Evidemment, là, tout le monde sera d'accord pour dire que cette solution générale est moins élégante (bien que parfaitement générale et correcte) que S1, S2 ou S3
Donc, l'équation f(x)=f(-x) possède une infinité de solutions générales :
f(x)= p(x), avec p(x) n'importe quelle fonction paire
f(x)= g(x) + g(-x), avec g(x) quelconque
f(x)= g(|x|), avec g(x) quelconque
f(x)= g(x^2), avec g(x) quelconque
f(x)= g(x)g(-x) pour x non nul, f(0)=a, avec a et g(x) quelconques
....
Autre exemple très simple : trouver une solution générale de l'équation fonctionnelle f(x+1)=f(x)
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Plein de solutions générales équivalentes (puisque générales):
f(x) = p(x), avec p(x) périodique quelconque dont une période est 1
f(x) = m({x}), avec m(x) quelconque et {x} désignant la partie fractionnaire de x
f(x) = m(sin(2*pi*x)), avec m(x) quelconque
Autre exemple un peu moins simple : Solutions de f(-x)=2x + f(x)
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Plein de solutions générales équivalentes (puisque générales) :
f(x) = p(x) - x, avec p(x) n'importe quelle fonction paire
f(x) = g(x) + g(-x) - x, avec g(x) quelconque
f(x) = x^2 - x + g(|x|), avec g(x) quelconque ...
Bien sûr, la troisième, bonne et générale, n'est pas la plus simple ...
Conclusion :
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Je voulais juste attirer l'attention sur le fait que bon nombre d'équations fonctionnelles ont une infinité de solutions et que le défi est en général de trouver une solution dite "générale", c'est à dire une forme permettant de trouver toutes les solutions. Mais il faut être conscient qu'il existe en fait souvent une infinités de solutions "générales", toutes bonnes et équivalentes.
On cherche en général à donner la solution générale la plus "élégante" mais l'élégance reste souvent une affaire de point de vue (quelle est la forme la plus élégante entre "g(x)+g(-x)-x" et "g(x^2) - x", g quelconque, toutes deux solutions générales de l'équation fonctionnelle f(-x)=2x + f(x) ?)
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Patrick,
un brin philosophe
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