<<sujet ouvert sur une e.f>>

Salut à tous !!!

Dans le cadre de mes admirations aux equations fonctionnelles parametriques ... et car je m'interesse bcp à resoudre les plus "mechnates" equations fonctions sont les fonctions de H.POINCARE je propose cette equation fonctionnelle:

trouver toutes les fonction f:IR--->IR qui verifient:

f(ax) = axf(x) + 1

avec a£Z*\{-1;1}

et Merci

PS: l'ancienne equation fonct° est une figure ressemble à celle là: c'est a dire pensez-vous bcp aux solutions analytiques et merci
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lahoucine

Bonjour à tous,

On voit tout de suite que si f(x) et g(x) sont solutions, leur différence f-g vérifie une équation qui paraît plus simple : (f-g)(ax)=ax(f-g)(x).

Donc, l'idée est de chercher une solution particulière de l'équation originelle puis de résoudre l'équation plus simple pour trouver toutes les solutions.

1) trouver une solution particulière
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On cherche une solution particulière, donc pas besoin de rigueur dès lors que l'on vérifie en fin de calcul que le résultat est une solution. Je reproduis les étapes de mon raisonnement au lieu de sauter directement au résultat.
Soit f(x0)=y0 et v_n=f(a^n x0)
On a v_0=y_0 et v_(n+1)=f(a a^n x0)= a a^n x0 f(a^n x0) + 1, soit : v_(n+1) = a^(n+1) x0 v_n + 1

Classiquement, pour éliminer le coefficient de v_n, multiplions cette équation par a^(p(n+1)) x0^(q(n+1)), écrivons w_n = a^(p(n))x0^(q(n))v_n et essayons de déterminer p et q pour équilibrer les deux termes :

a^(p(n+1))x0^(q(n+1))v_(n+1) = a^(p(n+1))x0^(q(n+1))a^(n+1) x0 v_n + a^(p(n+1))x0^(q(n+1))
Il suffit alors d'avoir a^(p(n+1))x0^(q(n+1))a^(n+1) x0 = a^(p(n)) x0^(q(n))
Soit :
p(n+1)+n+1 = p(n)
q(n+1)+1 = q(n)

Soit par exemple p(n) = -n(n+1)/2 et q(n) = -n

On a alors :
w_n = a^(-n(n+1)/2)x0^(-n)v_n et w_0= f(x0) et w_(n+1)= w_n + a^(-(n+1)(n+2)/2) x0^(-(n+1))

Ce qui donne w_n = f(x0) + sum(k=1 to n; a^(-k(k+1)/2) x0^(-k))

Revenons à v_n = f(a^n x0) :

f(a^n x0) = v_n = w_n a^(n(n+1)/2) x0^n = a^(n(n+1)/2) x0^n ( f(x0) + sum(k=1 to n; a^(-k(k+1)/2) x0^(-k)))

Posons maintenant x0 = a^(-n)x1 :

f(x1) = a^(n(n+1)/2) x1^n a^(-n^2) ( f(x1/a^n) + sum(k=1 to n; a^(-k(k+1)/2) x1^(-k) a^(nk)))

f(x1) = a^(-n(n-1)/2) x1^n ( f(x1/a^n) + sum(k=1 to n; a^(kn-k(k+1)/2) x1^(-k)))

f(x1) = a^(-n(n-1)/2) x1^n f(x1/a^n) + sum(k=1 to n; a^(-n(n-1)/2) x1^n a^(kn-k(k+1)/2) x1^(-k)))

f(x1) = a^(-n(n-1)/2) x1^n f(x1/a^n) + sum(k=1 to n; x1^(n-k) a^(kn-k(k+1)/2 - n(n-1)/2) ))

f(x1) = a^(-n(n-1)/2) x1^n f(x1/a^n) + sum(k=1 to n; x1^(n-k) a^(((n-k) - (n-k)^2)/2)))

f(x1) = a^(-n(n-1)/2) x1^n f(x1/a^n) + sum(k=0 to n-1; x1^k a^(-k(k-1)/2))

Faisons tendre n vers l'infini.
Le premier terme (à droite) tend vers 0 en supposant |a| > 1 et f bornée au voisinage de 0 (par exemple continue). Rappelons que ceci n'est pas une contrainte du problème mais que l'on s'en moque puisque nous effectuons un raisonnement "intuitif" permettant d'aboutir à une seule solution particulière dont on vérifiera qu'elle marche, ce qui est le seul but.

Il reste : f(x) = sum(k=0 to +infini; x^k a^(-k(k-1)/2))

Cette série est absolument convergente (|a|>1), de rayon de convergence +infini et le fait qu'elle est solution se vérifie aisément :

axf(x)+1 = 1 + sum(k=0 to +infini; ax x^k a^(-k(k-1)/2))

axf(x)+1 = 1 + sum(k=0 to +infini; a^(k+1) x^(k+1) a^(-k-k(k-1)/2))

axf(x)+1 = 1 + sum(k=0 to +infini; (ax)^(k+1) a^(-k(k+1)/2))

axf(x)+1 = 1 + sum(k=1 to +infini; (ax)^k a^(-k(k-1)/2))

axf(x)+1 = sum(k=0 to +infini; (ax)^k a^(-k(k-1)/2))

axf(x)+1 = f(ax)
CQFD

2) recherche des solutions de g(ax)=axg(x)
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On est là dans un domaine très classique.
On montre rapidement que g(a^n x)=a^(n(n+1)/2) x^n g(x)

g(0) = 0
g(x) est entièrement déterminé sur R* par la connaissance de g sur E = ]-|a|,-1] U [1,|a|[

Donc, soit h(x) quelconque définie sur E = ]-|a|,-1] U [1,|a|[
Soit s(a)=signe de a (+1 ou -1)

On a toujours |x| = |a|^([ln(|x|)/ln(|a|)]) |a|^({ln(|x|)/ln(|a|)})

et donc x = a^([ln(|x|)/ln(|a|)]) x'
avec x'= s(x) s(a)^([ln(|x|)/ln(|a|)]) |a|^({ln(|x|)/ln(|a|)}) et donc x' dans E

écrivons :
n(x) = [ln(|x|)/ln(|a|)] et donc n(x) appartient à Z
q(x) = s(x) s(a)^([ln(|x|)/ln(|a|)]) |a|^({ln(|x|)/ln(|a|)}) et donc q(x) appartient à E = ]-|a|,-1] U [1,|a|[
On a : x = a^n(x) q(x)
et donc g(x) = g(a^n(x) q(x))=a^(n(x)(n(x)+1)/2) q(x)^n(x) g(q(x))

et donc g(x) = a^(n(x)(n(x)+1)/2) q(x)^n(x) h(q(x))

3) synthèse : ensemble des solutions de f(ax)=axf(x) + 1 avec a réel vérifiant |a|>1
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Notez que la solution fonctionne avec a réel quelconque tel que |a|>1 et pas seulement avec a dans Z-{-1,0,1}

Soit E = ]-|a|,-1] U [1,|a|[
Soit h(x) fonction quelconque définie sur E

Notations :
n(x) = [ln(|x|)/ln(|a|)] (fonction de R* dans Z)
q(x) = s(x) s(a)^([ln(|x|)/ln(|a|)]) |a|^({ln(|x|)/ln(|a|)}) (fonction de R* dans E)

Alors toute solution s'écrit :
Pour x=0 : f(0) = 0
Pour x<>0 : f(x) = sum(k=0 to +infini; x^k a^(-k(k-1)/2)) + a^(n(x)(n(x)+1)/2) q(x)^n(x) h(q(x))

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Bien sûr, n'hésitez pas à me demander toute explication.
Bien sûr également, veuillez excuser toute erreur qu je n'aurais pas détectée.

Patrick

bravo j aime bien l idee !

Salut Mr Patrick !!!

Bravo ! rien à ajouter !!!

et parmi ces solutions je veux mettre en evidence une fonction tres utilie il s'agit de la fonction de TSCHAKALOFF definie par:

f(x)=som{n>=0}{ a^(-n(n-1)/2) x^n }

et d'abord cette fonctin n'est qu'une cas particuliere de l'equation fonctionnelle suivante (qui est aussi particuliere de H.POINCARE) :

(x^n) f(x) = P(x)f(ax) + Q(x)

avec :

*) P£ Q_n[X] et P(0)#0.

*) Q £ Q_n[X]

*)a £ Z*\{-1;1}

et merci

PS: allez bon courage !!! ça marche profondement vers la complexité... et ça le secret de montrer un secret
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lahoucine

mathema a écrit:

Bravo ! rien à ajouter !!!

Merci, monsieur Mathema. Je suis honoré d'être félicité par un aussi intelligent, serviable, honnête et humble mathématicien tel que vous.

salut Mr Patrick !!

Merci à toi aussi également ! MAIS c'est un peu exageré car je suis qu'un simple étudiant ,qui, veut atteindre son but et rentrer dans l'histoire des mathematiques et se classer à côté des anciens savants et j'espère.

et merci

PS: bonne chance avec la suite ... car ça sera un peu longue et ....
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lahoucine