Une famille libre d'applications déduite de polynômes

Bonsoir


Voici un exercice inspiré d'une idée connue ....

On considére une famille tel que :

et que :





Prouver que la famille
est une famille libre du espace vectoriel des applications de vers

bien entendu pour un polynôme P on a |P| est l'application qui associe à tout réel x le réel |P(x)| ( valeur absolue)

L'hypothèse ==> qqs a de IR , P_a = c_a(X-a) où c_a une constante non nulle, car P_a non constant et admet a comme racine simple unique.
Il est bien connu que la famille (c_a|x-a|)_a est libre.

bonjour

je me rends compte que j'ai mal posé la question ...et l'exercice sous sa forme ci-dessus revient tout simplement à dire : montrer que la famille (x ->|x-a|)_{a \\in IR} est libre et c'est connu comme c'est dit

Mon but etait de ganarliser cette chose

je suggére alors ce qu'il fallait que je fasse en espérant que sa tienne cette fois-ci :




PREMIER SUGGESTION :

indexer par une partie I de IR non vide et non reduite à un singleton et faire l'hypothése

\forall (a,b) \in I² a \neq b => P_a(a) =0 et P'_a(a) P_b(a) \neq 0


dés lors P_a peeut avoir d'autres racines autre que a .....




DEUXIEME SUGGESTION :

laisser l'indexation par IR et faire l'hypothése :


\forall a \\in IR P_a(a) =0 et P'_a(a) \\neq 0
et :
\forall (a,b) \in IR² a \neq b et P_b(a)=0 => P'_b(a)=0


J'attends les commentaires de Abdelbaki

Lire attentivement la démonstration de la famille (c_a|x-a|)_a est libre. Ensuite, regarde où peux-tu généraliser étape par étape.
En ce qui concerne les deux suggestions. a reste la seule racine simple de P_a pour les autres eventuelles racines sont multiples
Donc il se peut qu'il y aura la présence des multiplicités paires
La question est-ce libre?
Par exemples : P_a =(X-a)(X-a-1)² cette famille est-elle libre?