<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

@amjad92b : revois ce qui est en gras
@MouaDos : c'est >=,j'ai edité

salam

a²+c²=2
b²+d²=2
ab=cd
................

b=0 <==> c=0 donc ( <==> )est vérifiée

si aucun nombre nul

a/d = c/b ==> a²/d²=c²/b² = (a²+c²)/(d²+b²) = 2/2 = 1

===> a²=d² et c²=b²

===> a²+b² = 2 et c²+d²= 2

ab=cd ===> (tous de même signe ) ou ( deux (+) et deux(-) )

or |a|=|d| et |c|=|b|

====> ac=bd

......................
le retour : inverser les rôles.

remarque : j'ai même une démonstration géométrique
si çà vous interesse.

......................................

On omet les cas de 0 donc a,b,c,d £ IR*^4
a²+c²=2 et b²+d²=2
<=> a²=2-c² et b²=2-d²
=>a²b² = 4 -2(c²+d²) +c²d²
=> c²+d² = 2
et a²+c²=2 et b²+d²=2
<=> c²=2-a² et d²=2-b²
=>c²d² = 4 -2(a²+b²) +a²b²
=> a²+b² = 2
et puisque a²+b² = 2 et c²+d² = 2
=> a²c² = 4 -2(d²+b²)+d²b²
=> a²c² = b²d²
=> ac = bd ou ac = -bd
=> a/d = b/c ou a/d = -b/c
on a ab = cd => a/d = c/b
donc on conclues que a/d = b/c (l'autre cas est absurde) donc ac = bd
( a²+c²=2 et b²+d²=2 et ab=cd ) => ( a²+b²=2 et c²+d²=2 et ac=bd)
Pour (<=) on procèdes de la même manière
sauf erreur

A vous Mr houssa (j'aimerais bien voir l'autre démo si c'est possible)

oui houssa ça nous intéresse et ça nous fera grand plaisir si vous la postez.

oué houssa on veut bien voir la methode geometrique

bon d'accord

soit le cercle de diamètre AB=V(2)

je me place dans le cas : a,b,c,d positifs sinon on remplace par les val.abs.

soit M € cercle , je note MA=a , MB= b ===>a²+b²=2

soit N € cercle , je note NA=c , NB=d ===> c²+d²=2

M et N de part et d'autre de AB

aire(AMN) =1/2.a.c.sin(MAN)
aire(BMN) = 1/2.bd.sin(MBN)

or MAN et MBN sont supplémentaires ===> même sinus

puisque ac=bd ==> les mêmes aires

en plus :
aire(AMN)=1/2.MN.h ( h la hauteur relative)
aire(BMN) =1/2.MN.h'

====> h=h'

===> [MN] diamètre

donc M et N jouent des rôles symétriques

d'où a=d et b=c etc.........

..........

merci
donc a toi l'honneur de poster exo

exo :

a + b + c = pi

montrer que:

sin²a + sin²b + sin²c =< 9/4

.....................................................

je vous prépare un exo original .

.

Pour montrer que sin²A+sin²B+sin²C =< 9/4, on va montrer que la différence des doubles est supérieure ou égale à 0.

9/2 - (2sin²A+2sin²B+2sin²C)
= 3 - (2sin²A+2sin²B+2sin²C) + 3/2
= cos2A+cos2B+cos2C + 3/2
= cos2A+cos2B+cos[2pi-2(A+B)] + 3/2
= cos2A+cos2B+cos2(A+B) + 3/2
= [cos2A+cos2B] + [cos2(A+B)+1] + 1/2
= 2cos(A+B)cos(A-B) + 2cos²(A+B) + 1/2
= 2[cos²(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)] + 1/2
= 2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]² + 1/2 - (1/2)cos²(A-B)
= 2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]² + (1/2)sin²(A-B)

Ce qui est clairement supérieur ou égal à 0.
D'où 9/2 >= 2(sin²A+sin²B+sin²C).
Et par conséquent : 9/4 >= sin²A+sin²B+sin²C.

Oui c'est Juste Matherror , a toi l'honneur !

DSL,je pense aussi que c'est juste.A toi Matherror !!

D'accord.

Voilà l'exercice que je propose :

Soient x et y deux réels strictement positifs tels que x² + y³ ≥ x³ + y⁴.

Montrez que x³ + y³ ≤ 2.

Je procede par Cas :

(x,y) > 1 .. Impossible ! ( x^3+y^3 > 2 )

(x,y) < 1 .. Impossible ! ( x^3+y^3 < 2 )

si x≥1 , y ≤1 :

Donc : 1-y ≥ y-y^2 ≥ y^2-y^3 ≥ y^3-y^4 ≥ y^3-y^4

et On a aussi : y^3-y^4 ≥ x^3 - x^2 ≥ x - 1

D'ou : 1-y ≥ x-1 <=> 2 ≥ x+y ≥ x^3 + y^3 ( parceque x^2+y^3 >= x^3+y^4 )

Sauf erreur !!

MouaDoS a écrit:

x+y ≥ x^3 + y^3

peut tu eclaircir,pourquoi cette inegalite est correcte ?
p.s:il te reste le cas ou x =< 1,y >= 1

bjr tt le monde

voilà ma solution
je vais traiter 3 cas

1er cas: x> 1
on a x² + y³ ≥ x³ + y⁴
et donc x²(1-x) ≥ y³(1-y)
donc y³(1-y)<0
alrs y > 1
==> impossible

2ème cas: x ≤ 1 et y ≤ 1 ( correct

3ème cas: x ≤ 1 et y≥1
on aura alrs x²+ y³≤ x²+ y⁴≤ x³+y⁴
==> impossible


donc x ≤ 1 et y ≤ 1 alrs x³ + y³ ≤ 2

merkam a écrit:

bjr tt le monde

voilà ma solution
je vais traiter 3 cas

1er cas: x> 1
on a x² + y³ ≥ x³ + y⁴
et donc x²(1-x) ≥ y³(1-y)
donc y³(1-y)<0
alrs y > 1
==> impossible

2ème cas: x ≤ 1 et y ≤ 1 ( correct

3ème cas: x ≤ 1 et y≥1
on aura alrs x²+ y³≤ x²+ y⁴≤ x³+y⁴
==> impossible


donc x ≤ 1 et y ≤ 1 alrs x³ + y³ ≤ 2

Citation :

Je procede par Cas :

(x,y) > 1 .. Impossible ! ( x^3+y^3 > 2 )

(x,y) < 1 .. Impossible ! ( x^3+y^3 < 2 )

si x≥1 , y ≤1 :

Donc : 1-y ≥ y-y^2 ≥ y^2-y^3 ≥ y^3-y^4 ≥ y^3-y^4

et On a aussi : y^3-y^4 ≥ x^3 - x^2 ≥ x - 1

D'ou : 1-y ≥ x-1 <=> 2 ≥ x+y ≥ x^3 + y^3 ( parceque x^2+y^3 >= x^3+y^4 )

Sauf erreur !!

Certes, la démarche démonstrative que vous avez entreprise est irréprochable, mais je dois avouer que les passages ci-dessus soulignés sont assez brouillardeux. Je vous prie respectivement de prendre soin de les éclaircir afin que la compréhension en soit plus aisée.

pr le passage souligné il est faux dans ma démonstration
je le réctifie ici:

3ème cas: x ≤ 1 et y≥1
alrs: x≤ y
on a cependant : x² + y³ ≥ x³ + y⁴
donc x²( 1-x)≥ y³(y-1)
alrs que x²≤y³
et que 1-x ≤ y-1
d'où le 3ème cas est impossible

donc on a: x ≤ 1 et y ≤ 1 alrs x³ + y³ ≤ 2

On a :
x^3 + y^3 = x^3 + y^4 − y^4 + y^3 =< x^2 + y^3 − y^4 + y^3 = x^2 + y^2 − (y − y^2)^2 =< x^2 + y^2.
D'après l'inégalité de Cauchy Schwarz, (x^2 + y^2)^2 =< (x + y)(x^3 + y^3) =< (x + y)(x^2 + y^2) puis
x^2 +y^2 =< x+y. On a alors (x+y)^2 =< 2(x^2 +y^2) =< 2(x+y) soit x+y =< 2. En resultat, il vient que  x^3 + y^3 =< x^2 + y^2 =< x + y =< 2.C'était seulement une petite idée sur une solution sans CAS!Continuez!!! C'est bien!

Oui Naoufal , Merci je pensais que c'etait Clair depuis la condition donnee par l'exo ( je me suis rendu compte qu'il est tiree d'un olymp de Russia ) , mais c'etait pas le cas


Peux-je poster un autre exo ?

ui tu px

Okey , voici Mon exo !

Resoudre en IR le systeme Suivant :

on peut trouver facilement que:(x+y)²+2(x+y)-63=0 alors x+y=-9 ou x+y=7.
si x+y=-9
alors x=-(9+y) alors y²+9y+28=0 ce qui est impossible.
si x+y=7
alors x=7-y alors y²-7y+12=0 alors y=3 ou y=4 => les solutions sont (4,3) et (3,4)

!!

ah jé oublié un cas