<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

Amjad92b, la solution proposée ci-dessus contient une erreur dans sa troisième ligne comme l'a remarqué Figo.

En plus, f(0) ne peut pas être égal à 0 puisque f doit notamment vérifier : ∀ x ∈ IR ; f(x) # 0. ( Voir l'énoncé de l'exercice )

ah oui dsl jé pa vu !

Reste f(0) c'est la clé de l'exo comme a dit figo une petite erreur s'est glissé dans ma rédaction c'est réglé.
demain inchalah j'essaierai de trouver la valeur du paramètre θ .

salam


apres une longue fouille

il manque dans l'énoncé : f continues

on pose g = 1/f

g((x+y)/2) = (g(x) + g(y) )/2

1) montrer que g affine

2) montrer que g constante ===> f constante non nulle.

Je ne crois pas que ça soit la solution la plus convenable, mais j'essaye:

oussama
à toi l'honneur !

Un petit exercice assez coriace que j'aime bien, il est tiré d'une ancienne olympiade :

Bjr !


1) pour le 5 : 5=3+2 , et : 1/2 + 1/3 =/= 1 --> 5 est mauvais !
pour le 6 : 6 = 2+2+2 = 3+3 = 4+2 .. aucune d'eux ne marche
pour le 7 : 7=2+2+3 = 3+4 = 5+2 .. aucune d'eux ne marche !
pour le 8 : 8=2+2+2+2=2+2+4=3+3+2=2+6=3+5=4+4 .. aucune d'eux ne marche
pour 9 : 9=3+3+3 .. et : 1/3+1/3+1/3=1 --> 9 est bon
pour 10 : 10=2+4+4 .. et : 1/2+1/4+1/4=1 --> 10 est bon

2) a est un carree parfait ! a=k²=k+k+k+k+...+k .. k fois

et 1/k+1/k+1/k+1/k+.....+1/k .. k fois = k. 1/k = 1 => le carre est Bon !

3) n est bon <=> n=a1+a2+a3+....+ak et 1/a1+1/a2+1/a3+...+1/ak = 1

2n+2 = 2a1+2a2+2a3+....+2ak+2 et 1/2.a1+1/2.a2+....+1/2.ak +1/2 = 1/2 [ 1/a1+1/a2+...+1/ak ] +1/2 = 1/2+1/2=1 <=> 2n+2 est bon !

pour 2n+9 , la meme chose , juste qu'on change le 9 avec un 6+3

4) soit : a>= 56
On Suppose : que : quelque soit k de [24,a] est bon <=> 50 =< 2k+2 =< 2a+2
et : on a aussi : 24 =<k =< a <=> 57 =< 2k+9 =< 2a+9

et On aussi : [a,2a] appartient a l'intersection : [50,2a+2]n[57,2a+9] avec : 56=2.27+2 et 57=2.24+9

<=> Chaque nombre de [a,2a] est bon <=> En Iterant On trouve que Tous les nombres >=56 sont bons , sur les conditions de l'enonce . .. Sauf erreur !

Vraiment rien à dire, juste que c'est à toi.

a toi mouados

MouaDoS a écrit:

Exo :


Calculer la Valeur de :


Ps : Dsl d'avoir changer d'exo , mais l'ancien exo etait calculatoire et tres long , donc j'ai preferee le changer

Je ne sais pas s'il est permis d'utiliser nos connaissances en nombres complexes pour résoudre cet exercice... Mais je doute fort qu'il ait une solution non complexe, sachant que pi/7 ne peut pas être exprimé en terme de sommes, produits et racines finies de nombres réels.
Me trompè-je ?

Matherror a écrit:

MouaDoS a écrit:

Exo :


Calculer la Valeur de :


Ps : Dsl d'avoir changer d'exo , mais l'ancien exo etait calculatoire et tres long , donc j'ai preferee le changer

Je ne sais pas s'il est permis d'utiliser nos connaissances en nombres complexes pour résoudre cet exercice... Mais je doute fort qu'il ait une solution non complexe, sachant que pi/7 ne peut pas être exprimé en terme de sommes, produits et racines finies de nombres réels.
Me trompè-je ?

C'est ce que je remarque aussi.Je pense que MouaDos a remplacé un exo simple par un autre bcp plus complexe

salam

c'était posté avant ( avec tg pi/7) et il n'y avait pas eu de réponse.

la difficulté provient de la résolution d'une équation difficile

je donne une idée:

sur le cercle trigonométrique partager le 1er quart en pi/7

el kashi

====>[ 2.cos(3pi/7) ]²= 2 -2.cos(pi/7)

on pose cos(pi/7) = X

====> 32.X^6 - 48.X^4 + 18.X² + X - 1 = 0

et donc la suite ......??,

Bon , Okey ! je vais poster Un Nouveau Exo .. et je suis vraiment desole !

salam tu fais 180°

c'est tres facile

E(x) = n =====> x= n + a / 0 =< a < 1

1er cas : n pair=2p
..........................................
x/2 = p + a/2 =====> E(x/2) = p

(x+1)/2 = p +1/2 + a/2 ; comme : 0< 1/2 + a/2 < 1 ===> E((x+1)/2)=p

donc E(x/2) + E((x+1)/2)= 2p = E(x)

2e cas : n impair = 2p+1
..............................................
x/2 = p + 1/2 +a/2 =====> E(x/2) = p

(x+1)/2 = p+1 +a/2 ======> E((x+1)/2)= p+1

donc E(x/2) + E((x+1)/2) = 2p+1 = E(x).

......................................

1) x £ IN:
x est paire : x = 2k
E(x/2) + E(x+1/2) = k + k = 2k = E(x)
x est impaire = x = 2k +1
E(x/2) + E(x+1/2) = k + k + 1 = 2k + 1 = E(x)

2) x n'appartient pas à IN
=> Il existe a £ ]0;1[ tel que : x/2 = E(x/2) + a
Deux cas:
a £ ]0;1/2[
=> (facile à démontrer) x = E(x) + 2a
=> E(x/2) + E(x+1/2) = 2 E(x/2) = x - 2a = E(x)
a £ [1/2;1[
=> x = E(x) + 2a - 1
=> E(x/2) + E(x+1/2) = E(x/2) + E(x/2) + 1 = 2 E(x/2) + 1 = x -2a +1 = E(x)

Donc E(x/2) + E(x+1/2) = E(x)

a toi houssa !

en attendant vos réactions

je vous propose

Trouver n € IN tel que :

20^n - 13^n - 7^n soit divisible par 309

..............................................................

car il n'est pas demandé de donner tous les valeurs de n ...


n = 1.

n £(1.5.7.9)

n=1 , 5 , 7 , çà marche

n=9 non valable

puisque vous êtes sur la piste ....trouver alors toutes les valeurs de n...

...........................

n £ (( [ (1 + 4k ; 3+4k ) / k £ IN ] - 3IN ))

Matherror a écrit:

n £ (( [ (1 + 4k ; 3+4k ; 5+4k ) / k £ IN ] - 3IN ))

3+4k n'est pas valable