<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

Figo a écrit:

considerons un point M' different de M sur (D3),(M'A) coupe (D2) en I',(M'B) coupe (D2) en J',
d'apres le theoreme de Thales on a:
MI/MA = MJ/MB=IJ/AB
et M'I'/M'A=M'J'/M'B=I'J'/AB
et puisce qu'aussi:
MI/MA=M'J'/A'B (tjr ac Thalès)
on deduit que IJ/AB=I'J'/AB d'ou IJ=I'J'
alors IJ est constante quand M change sur (D3)

Je n'ai pas bien compris cette ligne-là ...

oussama1305 a écrit:

Je n'ai pas bien compris cette ligne-là ...

c'est M'B et non pas A'B,je l ai deja changé

Non, c'est bon, j'ai compris.
À toi Figo .

Voici un autre d'analyse (troos facile => pas de solutions incomplètes);

Rectification : f'(0) = 1/4

Deuxième méthode:

C'est tiré du manuel, leçon de dérivation, rubrique "litahaddi"

je pense que c'est juste.
A toi oussama1305 !

Bon une super facile, mais je vais rajouter un peu de piment:

Démontrez de deux (2) façons différentes l'inégalité de Bernoulli :
(x £ IR+)(n £ IN*) (1+x)^{n} >= 1+nx

Celui qui aura donné les deux manières le premier aura gagné.
Bonne chance.

1ère methode : reccurence:
pr n=0 : 1 >= 1
supposons que (1+x)^n >= 1+nx et prouvons que (1+x)^(n+1) >= 1+n+nx,
on a (1+x)^(n+1)=(1+x)^n(1+x) >= (1+nx)(1+x) = 1+x+nx+nx² >= 1+x+nx.alors on deduit que pr tt n £ IN : (1+x)^n >= 1+nx
2ème methode:dérivation:
considerons la fonction f(x)=(1+x)^n-nx-1,
on a f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n >= n-n=0
alors f est croissante,d'ou f(x) >= f(0)=0.

P.S:c'est l'inégalite de Bernoulli non pas de Huydgens.

Super
On dirait bien qu'on joue au ping pong.
À toi Figo.
PS: Corrigé

1) recurrence

Pour n=0 , l'inegalite est verifiee !

supposons que (1 + x)^n >= 1 + nx

(1 + x)^{n+1} = (1 + x)(1 + x)^{n}>= (1 + x)(1 + nx)

<=> (1 + x)^{n+1} >= 1 + nx + x + nx²

<=> (1 + x)^{n+1} >= 1 + (n+1)x .. Conclusion .

2) soit f une fonction : f(x)=(1+x)^n-1-nx

la derivee : f'(x)=n(1+x)^(n-1) - n = n[(1+x)^(n-1)-1] >= 0

troop lent !!

• la premiere:
  

on considere la fonction f(x)=(1+x)^{n}-1-nx
f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n
f' est tjr positive puisque n>=2 et x>-1
et f(0)=0
donc f(x)>=0
donc (1+x)^{n} >= 1+nx

• la deuxieme:
  

par réccurence:pour n=2
(1+x)²>=1+2x
on admet que (1+x)^{n} >= 1+nx

donc (1+x)^{n+1} >= (1+nx)(1+x)
(1+x)^{n+1} >= 1+x+nx+nx²
(1+x)^{n+1} >= 1+(n+1)x
donc(1+x)^{n} >= 1+nx pour tout n>=2
et x >=-1

a toi FIGO

Boomer a écrit:

attendez l'inégalité de benouilli est pour n>=2 et x>=-1 avec x non nul

Ca ne change rien qu'on mette x > 0, c'est juste pour avoir droit à une dérivée sans problèmes.

Voici un autre tres facile aussi:

Figo a écrit:

Voici un autre tres facile aussi:

Soit x_1,x_2,...,x_n des nombres réels de l'intervalle [0,1].
1)Prouver que (x_1+x_2+...+x_n + 1)² >= 4(x_1²+x_2²+...+x_n²)
2)Determiner le cas d'égalité.

Je crois qu'il manque quelque chose.
Prenons n = 2 : (x1+x2)² >= 4(x1²+x2²)
x1 = x2 = 1/2 : 1 >= 2

non le dernier chiffre c'est x_n+1 pas x_n
et le +1 je crois qu'il n'est pas dans l'indice

FIGO px tu bien ecrire l'énoncé ??
le 1 eskil est ds l'indice ?

maganiste a écrit:

FIGO px tu bien ecrire l'énoncé ??
le 1 eskil est ds l'indice ?

nn,c'est ( (x_1+x_2+....+x_n) + 1)²,et ds les données j'ai pas cité x_(n+1)

BJR

on a

X1>= X1²
X2>=X2² .....

donc x1+x2+....xn+1 >= x1²+x2²+....xn²+1

(x1+x2+....xn+1)² >=( x1²+x2²+....xn²+1)²
(x1+x2+....xn+1)² >= (x1²+x2²+....xn²)²+1 +2(x1²+x2²+....xn²)

il suffit alors de demontrer que :

(x1²+x2²+....xn²)²+1 +2(x1²+x2²+....xn²) >= 4(x_1²+x_2²+...+x_n²)


(x1²+x2²+....xn²)²+1 -2(x1²+x2²+....xn²) >=0

(x1²+x2²+.....xn²-1)² >= 0

ce qui est vrai

Excellent.
A toi maganiste.

maganiste a écrit:

BJR

on a

X1>= X1²
X2>=X2² .....

donc x1+x2+....xn+1 >= x1²+x2²+....xn²+1

(x1+x2+....xn+1)² >=( x1²+x2²+....xn²+1)²
(x1+x2+....xn+1)² >= (x1²+x2²+....xn²)²+1 +2(x1²+x2²+....xn²)

il suffit alors de demontrer que :

(x1²+x2²+....xn²)²+1 +2(x1²+x2²+....xn²) >= 4(x_1²+x_2²+...+x_n²)


(x1²+x2²+....xn²)²+1 -2(x1²+x2²+....xn²) >=0

(x1²+x2²+.....xn²-1)² >= 0

ce qui est vrai

il te reste le cas d'egalité
p.s:essayez svp de repondre a ttes les questions ds un seul post

dsl j'ai pas vu le cas d'égalité
je vai y essayer mtn