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 << GRanD Jeu D'été 2009 >>

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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 30 Juil 2009, 07:44

pour maganiste

la 1ère ligne : x€D ......???????

si on démontre que x € ]1 , 2[ , c'est terminé !!!!

pour Boomer

à la fin :même chose si k plus ........ ( détaillez)


.......................................................
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 30 Juil 2009, 11:33

bjr a tous;
je vais proposer une solution inspirer de la méthode de boomer (espérons que c'est juste) :
x=V2/k
je fais une subdivision de cas:
---> lkl=<V2 ==> k=-1 (impossible) ou k=1 ( x=V2)
---> k=<-V2 ==> -1=<V2/k<0 ==> [x]=-1 (impossible)
---> k>=V2 ==> 0<V2/k<1==> 0=<x<1 (impossible car [x]<>0)

donc; une seule solution x=V2
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maganiste
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 30 Juil 2009, 21:03

pr demontrer x € ]1 , 2[ :

1er cas : x £(0.1) donc E(x) =0 impossible

x>2 donc E(x) >=2 donc x.[x.[x]] > 2 > V2 impossible

x £ (-1.-2) donc E(x) =-2 donc [x.[x]] £(2.4) impossible

x< -2 meme chose impossible

donc seul cas x £( 1.2) sauf erreur
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 30 Juil 2009, 21:04

oui c'est mieux .

donc à toi botmane !!..

.
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 30 Juil 2009, 21:25

voilà:
x,y,z sont des réels positives ;montrer que
(x+y)(x+z)(y+z)²/(xyz(x+y+z)) >4
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 30 Juil 2009, 22:26

veux tu dire [(x+y)(x+z)].(y+z)²/(xyz(x+y+z)) >4
ou bien [(x+y)(x+z)(y+z)]²/(xyz(x+y+z)) >4 ??
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 30 Juil 2009, 23:37

la première proposition ( d'après la source)
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 31 Juil 2009, 00:13

solution du problème:
on sait que (y+z)²≥4yz
-->
on a (x+y)(y+z)=x²+xy+yz+zx>x²+xy+yz=x(x+y+z)
alors
d'où le résultat voulu :
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 31 Juil 2009, 16:01

bien, prend la main !
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 31 Juil 2009, 18:39

problème proposé:
a; b; c et d des entiers naturels non nuls tel que :
a²+b²+c²+d²=1989
et m²=a+b+c+d et n²=max{a,b,c,d}
trouver m et n.....
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 31 Juil 2009, 22:20

m et n doivent eux aussi etre des entiers naturels?


lmouhim, je tente (pas du tout sur),
d'aprés cauchy-schwarz: (a+b+c+d)²=<4(a²+b²+c²+d²)
alors: m=<9 , avec m>=2 alors m£{2.3.4.5.6.7.8.9}
et pour n , il suffit de choisir le plus grand ,(puisqu'ils jouent le même rôle) a condition qu'il soit carré complet

.......
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 31 Juil 2009, 22:29

bSr......
oué mais c clair.....puisque a b c et de de IN* et a+b+c+d=m² alors que £IN*
de même pour n puisque n=max{a,b,c,d}
mais nn c pas la bonne réponse m et n ont des valeurs précises....essayez encore!!!!!Wink
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 02 Aoû 2009, 13:43

48h sont écoulées, stp majdouline, tu peux proposer une piste ou indice qui peut aider dans la solution?

merci
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 02 Aoû 2009, 18:02

les 48h ne se sont pas encore ecoulées Wink....
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miss-Design
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 02 Aoû 2009, 21:06

salut
je crois que le seul couple vérifiant les conditions est ( m=9 ; n=6 )
selon C.S m=<9 et vu que (a.b.c.d)£ IN * alors m>=2
et on a n^4=< 1989 du coup n=<6
aussi, 4 n^4 >= 1989 => n>4
alors n£{5,6}
et apparemment n<m alors on a que des couples précis à vérifier
dans cette étape il n y a que des calculs
.....
et enfin j'ai trouvé que la seule solution est n=6; m=9
Sauf erreur
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 02 Aoû 2009, 21:43

oué c ça miss-design... à toi de poster !!! Wink
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miss-Design
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 02 Aoû 2009, 22:10

Bon, à vrai dire , j'ai pas mes sources à cotè de moi maintenant :p
mais je peux poster un exo dont je m'en souviens, et c facile
voilà:
montrer que pour tout n de IN* et pour tout x de IR
E(E(nx)/n)=E(x)
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 02 Aoû 2009, 23:21

soit {x} la partie décimale de x
--->x=E(x)+{x}
E(nx)=E(n.E(x)+n.{x}) on a 0≤n.{x}
alors E(n.E(x))≤E(n.E(x)+n.{x})
d'où n.E(x)≤E(n.E(x)+n.{x})
<=>n.E(x)≤E(nx)
-->E(x)≤E(nx)/n
E(x)≤E[E(nx)/n] (1)
--------------------------------------------------------------------
on sait que E(nx)≤nx
alors E(nx)/n≤x
d'où E[(nx)/n]≤E(x) (2)
-----------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a :E(x)≤E[E(nx)/n]≤E(x)
----->E[E(nx)/n]=E(x)
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miss-Design
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 03 Aoû 2009, 12:18

majdouline a écrit:
soit {x} la partie décimale de x
--->x=E(x)+{x}
E(nx)=E(n.E(x)+n.{x}) on a 0≤n.{x}
alors E(n.E(x))≤E(n.E(x)+n.{x})
d'où n.E(x)≤E(n.E(x)+n.{x})
<=>n.E(x)≤E(nx)
-->E(x)≤E(nx)/n
E(x)≤E[E(nx)/n] (1)
--------------------------------------------------------------------
on sait que E(nx)≤nx
alors E(nx)/n≤x
d'où E[(nx)/n]≤E(x) (2)
-----------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a :E(x)≤E[E(nx)/n]≤E(x)
----->E[E(nx)/n]=E(x)

Salut majdouline, il y a quelque chose qui cloche dans cette démonstration, surtt la première partie
si tu peux éclaircir ça sera mieux Smile
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 03 Aoû 2009, 12:38

bJr....
E(nx)=E(n.E(x)+n.{x})
0≤n.{x}
alors E(n.E(x)+0)≤E(n.E(x)+n.{x})
--->E(n.E(x))≤E(n.E(x)+n.{x})
n.E(x) £ IN alors E(n.E(x))=n.E(x)
j'espère que c plus clair maintenant Smile
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miss-Design
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 03 Aoû 2009, 15:54

à toi de poster Majdouline Very Happy
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 04 Aoû 2009, 23:42

problème proposé:
prouver que pour tous (a, b ,c)£IN3 on a (a-b)5 + (b-c)5 + (c-a)5 est divisible par 5(a-b)(b-c)(c-a).
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kogu
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mer 05 Aoû 2009, 16:00

salut !
j'ai trouvé jusqu'à mnt (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5 est divisible par (a-b)(b-c)(c-a)
et pour 5 j'essayerai !
voilà ma demo

on a



on pose alors A_1=(c-a)A_2
donc on doit mnt prouver que A_2 est divisible par (b-c)(a-b)

on a encors :




ce qui est clairement divisible par (b-c)(a-b)

et pour le 5 je le laisse aprés XD.
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mer 05 Aoû 2009, 16:03

Salut,
On simplifie simplement l'expres​sion(a-b)^5 + (b-c)^5 + (c-a)^5 et on trouve que :
(a-b)5 + (b-c)5 + (c-a)5=5(a-b)(b-c)(c-a)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
on déduit alors que l'expression donnée est divisible par 5(a-b)(b-c)(c-a)
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majdouline
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mer 05 Aoû 2009, 16:30

bonjour...
à toi miss-design Wink...
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Aujourd'hui à 08:13

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