Une équation diophantine

Soit A un entier qui n'est pas un carré parfait. Montrer que l'équation

admet un nombre fini de solution (n,m).

salam, prof
supposons que l equation admet une infinité de solutions
notons Un=(Xn,Yn) £ N² suite de solution
soit A={ xn / n£N }
on a A inter )2A, +00(= B # de l ensemble vide
(car A est infini)
donc il existe (Xr,Yr) tq Xr£B donc Xr>2A et
Xr!-A=Yr² <=> A(Xr(Xr -1)....(A+1)(A-1).....2 -1)=Yr²
puisque A/ Xr(Xr -1)....(A+1)(A-1).....2 (car Xr>2A)
alors PGCD(A,Xr(Xr -1)....(A+1)(A-1).....2)-1)=1
d ou A est un carré parfait
absurd

C'est OK. Répondre au même problème en supposant que A est un carré parfait.

(DSL)de méme
prenons Xr>2A+4
4/Xr(Xr -1)....(A+1)(A-1).....2
donc Xr(Xr -1)....(A+1)(A-1).....2-1=3mod(4)
absurde carXr(Xr -1)....(A+1)(A-1).....2-1 est un carré parfait
congru 0 ou 1 mod(4)

Parfait. Passons à la pratique.
Résoudre l'équation:

n!-17^2=m^2

n!=17²+m²
si n>=4 alors 4/n! => m²+17²=0mod(4)
=> m et 17 pair absurde il reste verifie les cas n<=3
si n<=3
n!-17²<0 donc s={}

Résoudre l'équation:

pour n>=6 (m pair )
n!/4 + (1005)²=(m/2)²
le cas précedent

Ok. A un autre problème alors.