préparation aux olympiades

ok voici mon exo:

soit A une partie de IN* tel que :

*) a £ A ==> ts les diviseurs de a sont aussi dans A
**) a,b£A , 1<a<b ==> 1+ab£A

prouver que si card(A)>=3 alors A=IN *

n'oubliez pas de respecter les conditions de participation
A+

salut

j'espère que ma solution sera juste :

si un element apartient à A et egal à 0 alors les autre element seront different de 0 , et au moins les deux autre element seront >0

alors supposons nous que A={a_1 ; a_2 ;.....; a_n} avec n >= 3:
donc supposons aussi que a_1 > a_2 >.....> a_n >0 donc :

a_1 et a_2 £ A ==>b_1= a_1.a_2 +1 £ A

par suite b_1 et a_2 £A ===> b_2=b_1.a_2 +1 £ A


avec b_1 < b_2

.....et ainsi de suite : b_(n+1)=b_n.a_(n+1) +1
, en fin on trouvera que : b_1 < b_2 <.....<b_n ,

montrons alors que pr tt n £ IN* on a : b_(n+1) > b_n

pour n=1 c'est finit
alors on a b_(n+1) > b_n ===> 1+a_(n+2).b_(n+1) > b_n.a_(n+1) +1 ( car a_(n+1) >= a_(n+2) )

===>b_(n+2) > b_(n+1)
avec : la suite b_n tend vers plus l'infinit quand n tend vers plus l'infinit avec b_n £ A

Ce qui donne en fin : A= IN*

je sais pas si c' clair , mais j'ai essayé

bsr .
1ere chose , ton n que tu as considéré doit etre fixe , car il représente le cardinal de A, donc ta suite est mal construite

ensuite , tu as utilisé un fait non clair et qui ne figure pas dans le programme de 1er Bac : une suite a valeurs entiere et croissante ==> elle diverge , ce ci est intuitive mais a besoin d'une démonstration

en ignorant ce que j'ai ecris et supposons que ta preuve est juste ,elle montre seulement que card(A)=+00 , mais cela ne veut pas dire que A=N*

amicalement et merci pour la participation
A+

Jolie problème neutrino !!!

Soit A avec un cardinal >= 3
il est clair que 1 est un élement de car 1 est un diviseur de tous les entiers. si et sont dans est l"un deux est pair alors est un élement de s'il sont tous lé deux impairs alors est pair donc apartient à
Supposons maintenant que n'apartient pas à donc forcément tous lé élement de sont congru à car si il y a un nombre ki é congru a donc est ce dernier puisk il apartient a é divisble par alors 3 apartient a d'ou la contradiction
Et pour le cas ou il ya un ki é congru à alors il é divible par 3 (contradiction)
alors dans ce cas on prend un élemnt de si est composé alors et puisque et sont congru a alors d'ou d'ou la contradiction !!
et si est premier alors le nombre qui aparatient a est pair donc il sécrit comme est on a clairement d'ou contradiction!!

on en déduit finalement que apartient a
Supposons Maintenant que l'ensemble ne comporte pas tous les entiers naturels et Soit le plus petit entier qui n'appartient pas à

alors si est impair alors il s'ecrit comme si alors on auura 5 n'aparti1 ps a contradiction

si alors on a donc il apparti1 à é puisk 2 apparti1 a alors apparti1 a d'ou la contradiction

si est pair alors il s"écrit comme é si alors on a et appartiennent a car(k £A (k£ A (k<d) et 2k-1 £ A (2k-1<d)) donc alors d'ou (contradiction)

dans le cas ou on aurra n'appartient pas à clairement contradiction
cé contradictions finisent notre problème !!

J'attend une confirmation

tu as dis " soit d le plus petit entier qui n'appartient pas à a" ... '' ona k<d et donc il appartient à a'' c'est illogique , n'est ce pas??

si k napartené pas a A alor il a y un ki é plu petit que d é n'appartenant pas a A ce qui se contradit avec mon hypothèse donc forcément k aparti1 a A

ok dsl , siam mdawwakhni lol , alors tu as supposé qu'il existe ce d , c'est à dire A est majorée , et tu as trouvée une contradiction ,
tu as alors juste prouvé que cardA=+00 mais cela n'implique pas que A=IN*

si cardA négale pas a IN alors il ya dé nombres de IN ki néxistent pas dans A é qui constituent un ensemble S par exemple et on sé que chaque ensemble dans IN possède un plus petit élément é puisk dans notre problèm ce nombre n'esxiste pas alors l'ensemble S n'existe pas donc A=IN j croi k tt é clair

oui je pense que t'ai raison alors poste ton nouveau exo

Voila un exo facile d'arithmétique

Trouvez toutes les entiers positifs n sachant que pour toute entiers impairs a . si a^2 =<n alors a | n

j pas compris le signe a | n

edit par neutrino : a divise n

Solution:

(*)Si n =< 24,on peut facilement vérifier que n £ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24}.

(**)Si n > 24,soit le plus petit entier impair a tel que (a+2)² >= n,par conséquent on a a² < n ( car si a² > n,ce plus petit entier impair sera dans ce cas a-2 ).Il est clair que a+2 >= \sqrt{n} > 5,alors a > 3 ou aussi a >= 5 ( car a est impair ).Maintenant,puisce que PGCD(a-4,a-2,a)=1 ( ça veut dire qu'ils sont deux à deux premiers entre eux,et c'est facile à démontrer sachant que a est impair ) et puisce qu'ils sont tous les trois des diviseurs de n ( selon l'exo ),alors (a-4).(a-2).a|n.Il s'ensuit que (a-4)(a-2).a =< n =< (a+2)² ==> (a-4)(a-2).a =< (a+2)²,et on peut facilement vérifier que cela n'est vrai que si et seulement si a < 7.Puisce que a >=5 et a < 7 alors a=5 ( car a est impair ),il s'ensuit que n < 7²=49.Maintenant,puisce que 25 < n =< 49,3|n et 5|n ( car n > 5²=25 ) => 15|n d'ou on peut trouver deux nouvelles solutions qui sont n=30 et n=45.

On déduit finalement que n £ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45} .

à toi de jouer rachid !!!

slt!
je propose ma soluce:
supposons d'abord que f n'est pas constante.
on a : 2f( m²+n² ) = ( f(m) )² + ( f(n) )²
pour m=n :
2f(2m²)=2(f(m))²
f(2m²)=(f(m))²
donc l'e.f devient :
f((2m²+2n²)/2)=[f(2m²)+f(2n²)]/2 (*)
on a : m>=n ==>f(m²) >= f(n²).
puisque m,n£IN* et m>=n alors m²>=n² donc on deduit que f est croissante sur IN*.
de (*) on remarque que c l'e.f de jensen(en posons M=2m² et N=2n²) qui par monotonie de f nous donne les focntions affines comme solutions.
ensuite en remplacant dans l'e.f initiale(f(n)=an+b/(a,b)£IN*xIN) on deduit les solutions:

f(n)=2n (pour tt n£IN*)
pour les focntions constantes on tire facilement :
f(n)=1 (pour tt n£IN*)

EDIT par neutrino : révise ta solution , la fonction est juste croissante sur IN^2 l'ensemble des carrés parfaits , du meme pour l'équation de Jensen elle est seulement vérifiée par les carrés parfaits pas par tous les entiers positifs , en+ cette équation doit etre démontrée car elle n'est ps vue au programme

Chers membres , je ss tres navré de vous informer qu'on a décidé d'arreter ce jeu momentanément , car on a remarqué la faible participation des membres ( seulement 5 membres ) peut etre à cause de siam, en + la rentrée scolaire est proche alors tout le monde va etre ocuppé , on continuera le jeu prochainement esperant que vous serez nombreux, le nivo des exos de début va etre diminué