Exercice interressant

demontrer avec l'utilisation de la définition des limites
que

lim de x tend vers 0 de (1-coxcos2x....cosnx)/x² = n(n+1)(2n+1)/12


lim de x tend vers 0 de (1-cosax)/x² = a²/2


lim de x tend vers 0 de sinx/x =1


lim de x tend vers +oo de sinx/x=0




en + demontrer sans recurrance l'égalité suivant:


sigma de k=0 jusqu'a k=n de (2k+1) = (2n+1)! /2^n * n!

pr la premiere c facile voila la methode:
Lim (x-->o) 1-cosx.cos2x.cos3x.....cosnx
= lim(x-->o) (1-cosx)/x² +cos(1-cos2x.cos3x.....cosnx )
= lim(x-->o) (1-cosx)/x² + cosx(1-cos2x)/x² + cos2x (1-cos3x...cosnx)
et par la suite on trouve que c'est egale a :
lim(x-->o) sigma k=1 jusqua n de (1-coskx)k²(cos(k-1)x)/k²x²
ce qui fait (k=1 jusqua n) k²/2 et c'est une suite ki se restrint en n(n+1)(2n+1)/12

pr la deuxieme ax=X et X²=a²x² alors on va multiplié avec a²
et ca nous donne lim ((1-cosax)/a²x² )a²=1/2*a²=a²/2

pr la troisieme aussi simple c la derivé : lim (sinx-sin0/x-0) = sin'(0)= cos0=1



pr la quatrieme il suffit de faire ta2tir sinx/x<=1/x²
lim1/x²=0 ==> lim sinx/x=0

pr la 5eme j crois ke l'enoncé est fausse paske
(2n+1)! /2^n * n!=l(2*n!)*(2*n+1)/(2^n*(n!))=((2n)!/2^n*n! )*(2n+1) et 2^n*n!=2n! et le resultats ca nous donne 2n+1 sans le sigma

pr la 5eme j crois ke l'enoncé est fausse paske
(2n+1)! /2^n * n!=l(2*n!)*(2*n+1)/(2^n*(n!))=((2n)!/2^n*n! )*(2n+1) et 2^n*n!=2n! et le resultats ca nous donne 2n+1 sans le sigma

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! c trés trés just pk fausse et pour les autre question je ne crois pas que c correct parceque c pas comme ca
qu'on utilise la définition des limites

bein propose ta methode et on verra msieur et je t'assure ke mes methodes sont les justes ok pr la 5eme c fort possible k'elle soit fauuse

peut être que si peut être que non

en fait ou es alpha il faut trouvé alpha pour montrer qu'il existe lol

kel alpha ? de koi tu parles msieur

= lim(x-->o) (1-cosx)/x² +cos(1-cos2x.cos3x.....cosnx )

ca n'est pas just

implique que la repons est strictement fauss

ok je vé la faire par une autre methode msiuer

voici une autre méthode :
f(x) = (1-cos(x)cos(2x)..cos(nx))/x²
= cos(2x)..cos(nx)(1-cos(x))/x² + cos(3x)..cos(nx)(1-cos(2x))/x² +.....+cos(nx)(1-cos((n-1)x)) + (1-cos(nx))/x²
x---0 lim (1-cos(x)cos(2x)...cos(nx))/x² = 1/2(1²+2²+...+n²)= n(n+1)(2n+1)/12

ohhh jé pa vu demontrer avec l'utilisation de la définition des limites
que !! excuse moi oh ca sera un peu delicat je pense