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 arithmetique(tres interressant)

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lamperouge
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MessageSujet: arithmetique(tres interressant)    Ven 06 Avr 2012, 12:45

resoudre dans (N*)² l'equation suivante:
pgcd(x,y) + ppcm(x,y) = y + 9


Dernière édition par lamperouge le Sam 07 Avr 2012, 11:45, édité 1 fois
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acab8
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MessageSujet: Re: arithmetique(tres interressant)    Ven 06 Avr 2012, 13:45

Tu pe Le Resoudre avc un Systeme , D'une part l'equation et de Lautre part , pgcd(x,y)ppcm(x,y)=|xy| , J'ai trouver x=9k et y = 9k'
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lamperouge
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MessageSujet: Re: arithmetique(tres interressant)    Ven 06 Avr 2012, 14:10

nn prend par exemple x=27 et y=9
ca ne verifie po l'equation


Dernière édition par lamperouge le Ven 06 Avr 2012, 20:47, édité 1 fois
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acab8
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MessageSujet: Re: arithmetique(tres interressant)    Ven 06 Avr 2012, 14:33

k=/=k'
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acab8
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MessageSujet: Re: arithmetique(tres interressant)    Ven 06 Avr 2012, 14:40

Non Dsl J'ai commis une faute lors de ma redaction Dsl , Je Le Refais et je poste ma reponse plutard ! : Embarassed
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lamperouge
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MessageSujet: Re: arithmetique(tres interressant)    Sam 07 Avr 2012, 12:52

bon je poste ma solution:
je note d=pgcd(x,y)
Il faut tt d'abord remarquer que le d est impair qui implique aussi que x et y sont soit de parite differente ou tt deux impairs
puis on a
d + ppcm(x,y) = y + 9
<=>ppcm - y =9-pgcd
=>9-d>=0
=>d £ {1,3,5,7,9}
ensuite on remarque que d=/={5,7} (demontrable par congruence)
d'ou d£{1,3,9}
puis on verifie dans l'equation:
on a ppcm+d=y+9
<=> xy/d + d = y+9
d=1
=> y(x-1)=8
=> (y=1 et x=9) ou (y=2 et x=5) ou (y=4 et x=3)
d=3
=> xy/3 -y = 6
=> xy-3y=18
=>y(x-3)=18 et pgcd=3
=>(y=3,x=9)
d=9
=>xy/9 -y = 0
=>xy-9y=0
=>y(x-9)=0 et pgcd=9
=> x=9 et pgcd=9
=>(x=9 et y=9k/ k£N*)
finalement on trouve que
S={(9;1),(5;2),(3;4),(9;3),(9;9k/ k£N*)}
CQFD
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MessageSujet: Re: arithmetique(tres interressant)    Aujourd'hui à 10:44

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