oral futur X ;)

Soit f un endomorphisme de Mn(C) qui conserve le spectre

1)Montrer que , f conserve le rang et le déterminant

2) déterminer les formes possibles de f

Jolie question,je l'ai vu en spé, enfait c'étais l'objet d'un concours CNC (2006,2007 ou 2008),et on montre que les seuls formes possibles sont U_(P,Q)(M)=P*M*Q ou U_(P,Q)(M)=P*transposé(M)*Q
avec P et Q deux matrices de GL_n(C) et M la matrice de f.

Vraiment une question qui doit suscité la curiosité des spésites!

en fait vous venez de donner les formes des endomorphismes qui conservent le rang ! c'est déja une grande étape , mais ici il faut ajouter une condition pour notre endomorphisme

salam.
je ne vois pas pourquoi bcp de sujet ont ete abordé dans le forum mais celui la non!!!meme s'il est le plus interessant.
bn.1)-soit A£Mn(C)
sp(f(A))=sp(A)=>X_A=X_f(A)=>det(A)=det(f(A))
et si rg(A)=r alors les r premiers determinants partiels sont nuls(les r premiers coefficients de X_A ) de meme pour X_f(A),d'ou rg(f(A))=r d'ou le resultat.
2)-on essayera de trouver le resultat pour les matrices de rang 1.
d'abord on a rg(T)=1 <=>T=x(ty) , x et y deux colonnes.et ty la transposé de y.
donc il existe (p,q)£(C^n)² tel que f(x(ty))=p(tq),
et soit y fixe ,il existe (x,z,p,q,u,q')£(C^n)^6 avec (p,u) libre tel que. f(x(ty))=p(tq) et f(z(ty))=u(tq').
donc (q,q') est liée donc il existe s#0 tel que pour tout x£C^n,il existe p£C^n tel que f(x(ty))=p(ts).
et on montre facilement qu'il existe A£GL(C) tel que .
pour tou x de C^n,f(x(ty))=Ax(ts).
y etant toujours fixe.
on fait le meme demarche pour montrer que pour tt x£C^n,f(x(ty))=p(tx)B avec B£GL(C) et p fixe de C^n.
ainsi de suite pour avoir a la fin l'existance de A et B inversible tel que f(x(ty))=Ax(ty)B ou A(ty)xB.
ce qui prouve que pour toute matrice T de rang 1.
f(T)=ATB ou A(tT)B.avec A et B inversibles.
or toute matrice de M(C) est somme de matrices de rang 1
alors pour toute matrice T de M(C)
f(T)=ATB ou A(tT)B avec A et B inversibles.

kalm a écrit:

salam.
je ne vois pas pourquoi bcp de sujet ont ete abordé dans le forum mais celui la non!!!meme s'il est le plus interessant.
bn.1)-soit A£Mn(C)
sp(f(A))=sp(A)=>X_A=X_f(A)=>det(A)=det(f(A))
et si rg(A)=r alors les r premiers determinants partiels sont nuls(les r premiers coefficients de X_A ) de meme pour X_f(A),d'ou rg(f(A))=r d'ou le resultat.
2)-on essayera de trouver le resultat pour les matrices de rang 1.
d'abord on a rg(T)=1 <=>T=x(ty) , x et y deux colonnes.et ty la transposé de y.
donc il existe (p,q)£(C^n)² tel que f(x(ty))=p(tq),
et soit y fixe ,il existe (x,z,p,q,u,q')£(C^n)^6 avec (p,u) libre tel que. f(x(ty))=p(tq) et f(z(ty))=u(tq').
donc (q,q') est liée donc il existe s#0 tel que pour tout x£C^n,il existe p£C^n tel que f(x(ty))=p(ts).
et on montre facilement qu'il existe A£GL(C) tel que .
pour tou x de C^n,f(x(ty))=Ax(ts).
y etant toujours fixe.
on fait le meme demarche pour montrer que pour tt x£C^n,f(x(ty))=p(tx)B avec B£GL(C) et p fixe de C^n.
ainsi de suite pour avoir a la fin l'existance de A et B inversible tel que f(x(ty))=Ax(ty)B ou A(ty)xB.
ce qui prouve que pour toute matrice T de rang 1.
f(T)=ATB ou A(tT)B.avec A et B inversibles.
or toute matrice de M(C) est somme de matrices de rang 1
alors pour toute matrice T de M(C)
f(T)=ATB ou A(tT)B avec A et B inversibles.

la demonstration que Vs a vez donné est celle de la conservation du rg.
je crois que l'on trouvera les matrices semblables et nn pas equivalente ( a transposée pres))

PS: on peut le trouver a partir de votre demo, mai il ne fo pas s'arreter la..(enfin je crois)

oui je sais,il reste rien maintenant....

bonsoir ,
pour Kalm , je comprend pas trop le passage sp(f(A))=sp(A)=>X_A=X_f(A)
si elles ont mémes spectre, elles ont necessairement mais polynome caracteristique??

oué, même spectre implique que les polynômes caractéristique ont les mêmes racines.Mais attention aux ordres de multiplicité qui peuvent différés.Si on suppose qe A et f(A) sont digaonalisable alors on peut affirmer les polynomes minimales sont les mêmes mais pas les polynomes caractéristiques je crois.

FERMAT a écrit:

bonsoir ,
pour Kalm , je comprend pas trop le passage sp(f(A))=sp(A)=>X_A=X_f(A)
si elles ont mémes spectre, elles ont necessairement mais polynome caracteristique??

je pense que pour ne pas rendre les choses plus dur il suffit de dire que conserver le rang implique , la conservation de leurs produit

Conan a écrit:

je pense que pour ne pas rendre les choses plus dur il suffit de dire que conserver le rang implique , la conservation de leurs produit

salut , tu peux mieux eclairer?

younssi a écrit:

Conan a écrit:

je pense que pour ne pas rendre les choses plus dur il suffit de dire que conserver le rang implique , la conservation de leurs produit

salut , tu peux mieux eclairer?

je voulais dire conserver le spectre implique la conservation du produit des valeurs propres