colle MPSI

soit J est la somme des diviseurs de n £ N*.
Montrer que J(n)=<n+n.ln(n)
have fun!

ça c'est le plus facile des majorations de ta fonction J,on peut par exemple montrer cette inégalité en remarquant que:

J(n)=<n+n/2+...n/n=<n(1+1/2+...1/n)=<n(1+int(1 à n)dx/x=<n(1+ln(n)),d'où le résultat.

à ma connaissance,il y'en des majorations plus strict,je me rappelle pas bien d'une formule assez forte qui stipule que J(n)=<H(n)+exp(H(n)) avec H(n)=1+1/2+..+1/n

les colles d'arithmetique de meme que les oraux 'ens et X se basent sur les hors programme, donc qui a de la culture mathematique et qui avait un penchement à faire des olympiades s'en sortira facilement.
remarque: cet exo est posé à l'Ens!!

tout à fait raison!

je sais pas si tu peux poster ta méthode pour la résolution de ce petit problème!

ça sera mieux,si on trouve autre challenge! je te passe un bel exercice!

J(n) est définie comme t'as dit.montrer que:

kVn =< J(n) =< V(2k)*n.

V désigne la racine,et k le nombre des diviseurs de n.

fichier pdf: Autre démonstration.pdf

c'est une démonstration pour naoufal!

radouane_BNE a écrit:

ça sera mieux,si on trouve autre challenge! je te passe un bel exercice!

J(n) est définie comme t'as dit.montrer que:

kVn =< J(n) =< V(2k)*n.

V désigne la racine,et k le nombre des diviseurs de n.

J(n)>=kVn s obtient à partir d am-gm directement

en remarquant que J(n)=\sum_{i=1}^{k}(p_i^(ai+1)-1)/(pi-1)

et K=Prod(ai+1) avec n)=p1^a1*p2^2....pk^ak

Merci pour le document, et l'exo! sinon l en premier j'ai commencé comme la méthode du document mais quand j'ai vu le "ln" , l'integral et la somme m'ont inspiré une méthode tt à fait équivaut à la tienne mais un peu plus longue!
tout à fait mehdi .
tu t'es bien regalé en convexité on dirait!! (AM GM)

hh wé

pour celle de droite je crois qu elle decoule de la concavité de ln et l'inegalité du <<kamarata>> ,mais j essai de trouver quelque chose de plus simple