exo sur equation fonctionnelle

f définie et dérivable sur r et pr tout x et y de r :f(x+y)=f(x)+f(y)

1.demontrez que si f s'annule pour x=x0 alors f est identiquement nulle,ce qui veut dire que f(x)=0 pr tt x de r.on pourra écrire x sous la forme (x-x0)+x0
Pour la suite,on supposera f non identiquement nulle
2.en prenant y=0 dans l'équation f(x+y)=f(x)+f(y),montrer que f(0)=1
3.en écrivant x=(x/2)+(x/2) dans l'égualité cidessus,montrer que f(x)superieur a 0 pr tout réel x.
4.on pose k=f'(0)
-pr a fixé,on considére la fonction g : x->f(x+a)-f(a)*f(x)
calculer la dérivée de cette fonction
-en posant x=0,en déduire que f'(a)=kf(a)pr tt a de r.
Voila pouvezvous m aider car je comprend rien...merci beaucoup

pingouin a écrit:

f définie et dérivable sur r et pr tout x et y de r :f(x+y)=f(x)+f(y)

f(x+y)=f(x)f(y)

oui dsl je me suis trompé...

1) f(x0)=0 ==> f(x)=f(x0+(x-x0))=f(x0)f(x-x0)=0
2)f(0)= f(0+0)=f(0)²==> f(0)=0 ou f(0)=1 ==> f(0)=1 (par hypothèse)
3) f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)² >=0
4) k=f'(0)
g(x)=f(x+a)-f(x)f(a)=0 ==> g'(x)=f'(x+a)-f'(x)f(a)=0 qqs x et a dans IR
==> f'(a)=kf(a) qqs a dans IR

merci enormement