Matrice

Salam

determiner les suites de réels Xn Yn et Zn vérifiants la relation de recurrence:

(Xn+1;Yn+1;Zn+1)=(-111;1-11;11-1)(Xn;Yn;Zn)

PS: On parle pas de couples mais de matrices dont les lignes sont séparés par des "points virgules"

J'espére que c'est clair !

Merci d'avance !!

il te suffit juste de chercher la puissance n-ième de la matrice,soit en calculons quelques puissances et en trouvant une certaine relation de récurrence,soit en utilisant le théorème de cayley hamilton,en calculons le polynôme caratéristique!

BSR à Vous Toutes et Tous !!
BSR Radouane !!

Si on introduit le Vecteur-Colonne Vn=(Xn;Yn;Zn) et si on appelle A la matrice (-111;1-11;11-1) de M3(C)
Alors V(n+1)=A.Vn pour tout entier n .
Traditionnellement , on réduit la matrice A à sa Forme de JORDAN qui peut donner dans les cas sympathiques une matrice H diagonale ou de type D+N avec D diagonale et N nilpotente ; tout ceci s'écrivant P^(-1).A.P=H avec P matrice inversible .

Si on pose Wn=P^(-1).Vn pour chaque entier n
alors W(n+1)=H.Wn
d'ou Wn=H^(n).Wo

Il restera le calcul de H^(n) qui est tout aussi facile :
dans le cas diagonal ...
Dans l'autre cas H=D+N grâce à la Formule du Binôme de NEWTON et à la Nilpotence de N .

LHASSANE

PS : après avoir amorcé les calculs , je pense que la matrice A est diagonalisable car elle admet valeurs propres -1,2 et -2.
Sauf erreurs bien entendu !!!