olympiade 2009

Exercice 4 :

Il est bien clair que :

cosxsinx <= 1/2

on divisant par cos²x

tanx<=1/2cos²x

tanx.cos²x<= 1/2

donc :

Prod{tanxi}Prod{cos²xi}<= 1/2^n

Prod{cosxi}<=V(1/2^n)

Prod{sinxi}<=V(1/2^n)

donc la valeur maximale est V(1/2^n) atteinte quand Xi=Pi/4 + 2Kpi

oui bien juois samix mais kayna tari9a khra

d'aprés couchy chwarze

mezian khoya samix sid f kare l tmaren li b9aw

Le premier est facile ..
Il équivaut à :

4[ a(c+1) +b(a+1) +c(a+1) ] ≥ 3 (a+1)(b+1)(c+1)
4[ a+b+c+ab+ac+bc]≥3(abc+ac+bc+ac+a+b+c+1)

(a+b+c+ab+ac+bc)≥3(abc+1)=6
a+1/a +b+1/b +c +1/c ≥ 6 ( ac=1/b ..)

Ce qui est trival

on a lsin(xi)l = ltg(xi)l/ \/(1+tg²(xi)) or 1/ \/(1+tg²(xi))≤ (1/ \/(2ltgxil)
donc
lsin(x1)....sin(xn)l≤(1/V2)ⁿ
Prod ( Sinxi)≤(V2/2)ⁿ


or cette valeur est atteinte par le produit sin(x1)....sin(xn) lorsque
x1=x2=....xn= pi/4 donc c est la valeur maximal.