Beautiful!

Mq pour tout n appartenant à IN,
0<=n!e-[n!e]<=e/(n+1)
On attend tjrs!

beautiful mind a écrit:

Mq pour tout n appartenant à IN,
0<=n!e-[n!e]<=e/(n+1)
C BON!

fixons n et rappelons que e= sum(0,+00) ( 1/k!)

donc n!e= n!( sum(0,n) (1/k!)) + n! ( sum(n+1,+00) (1/k!)) = A+B

il est claire que A Est entier et B<1 pr n suffisamment grand , donc

LHS= B , il est facile de voir que (n+i)! >= (i-1)! (n+1)! qlq soit i>=1 , donc : LHS <= 1/(n+1) sum(1,+00) (1/(i-1)!) = e/(n+1) CQFD

C'est ça l'idée!!
sinon l'inégalité de Lagrange donnera évidence!!!
Bonne soirée!