Démonstration 2

comment peut-on démontrer que toute fonction croissante et majoré admet une limite finie en +00
(au moins des indications svp)

achraf_djy a écrit:

comment peut-on démontrer que toute fonction croissante et majoré admet une limite finie en +00
(au moins des indications svp)

Salut achraf !!

Je présume que tu as une fonction f de I=[a;+oo[ dans IR croissante et majorée ....
Considères l'ensemble A=f(I)={f(x) , a<=x }
A est une partie de IR , non vide et MAJOREE donc admet une BORNE SUPERIEURE notée M

Maintenant et on n'a pas le choix .... Montres que M=Limf(x) qd x ---->+oo
en utilisant la croissance de f et la Prop. de la Borne Sup ...

A Toi de continuer ..... LHASSANE

Salut achraf !!

On note M=Sup f(I)
d'après la Propriété de la Borne Supérieure :
Pour tout eps >0 il existe B dans I tel que M-eps < f(B) <=M

Mais alors puisque f est croissante , pour tout autre x' dans I et tel que
B <=x' on aura aussi M- eps < f(B)<=f(x')<=M
ce qui s'écrira |f(x')-M| < eps

On vient donc d'établir la chose suivante :
Pour tout eps > 0 il existe B dans I tel que pour tout x' >=B on ait
|f(x') - M| < eps

C'est là la traduction habituelle de :

Lim f(x)=M lorsque x ------> +oo

LHASSANE