Math=life
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 | | Sujet: Je bloque!! Dim 28 Mar 2010, 11:30 | |
| Trouver tous les polynômes réels P(x) tels que:
P(x)=P(x-1)P(x+1) ( x réel)
Bonne chance | |
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Math=life
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| | Sujet: Re: Je bloque!! Dim 28 Mar 2010, 11:33 | |
| Voila ou j'en suis: P(x)=P(x-1)P(x+1) ; donc P(x+1)=P(x)P(x+2) d'ou: P(x)=P(x-1)P(x+1)=P(x-1)P(x)P(x+2) donc: P(x)(P(x-1)P(x+2)-1)=0 donc P(x)=0 ou P(x-1)P(x+2)=1 et la je bloque, mais je sais deja que le polynome nul est solution  aide svp!! | |
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MohE
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| | Sujet: Re: Je bloque!! Dim 28 Mar 2010, 13:40 | |
| Bonjour! voici une solution, sauf erreur
Solution du problème:
On a P(x)=P(x-1).P(x+1) => P(x).P(x+2)=P(x+1).
On note n le degrée de P(x), alors le polynôme P(x) à exactement n racines complexe (si tu parlais des réels, il aurra au maximum n racines réels). (*)
Soit a une racine de P, alors P(a)=0, et on a P(a+1)=P(a).P(a+2)=0 d'où si a est une racine de P alors a+1 l'est également, est par suite, le polynome P aura une infinté> n de racines, ce qui est impossible, et par conséquent, n doit prendre une valeur pour laquelle P n'aie aucune racine, celle-ci n'est autre 0, d'où n=0 c.à.d le polynome P(x) est constant, i.e
P(x)=a => a²=a => a=0 ou a=1
Finalement, tous les polynômes qui verifi la relation sont:
P(x)=1 et P(x)=0 | |
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Math=life
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| | Sujet: Re: Je bloque!! Dim 28 Mar 2010, 18:44 | |
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Bison_Fûté
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| | Sujet: Re: Je bloque!! Dim 28 Mar 2010, 20:13 | |
| - Math=life a écrit:
- Trouver tous les polynômes réels P(x) tels que:
P(x)=P(x-1)P(x+1) ( x réel)
Bonne chance BSR à Vous Toutes et Tous !! En raisonnant sur les Degrés des polynômes de chaque côté de cette égalité , il est facile de découvrir que les solutions P(X) doivent être de Degré ZERO donc P(X)=c avec c constante . En effet si on note n=Degré P(X) ; alors Degré P(X+1)=Degré P(X-1)=n ce n'est pas difficile à prouver et de là n=2n car Degré {P(X+1).P(X-1)}=Degré P(X+1) + Degré P(X-1)=n+n L'équation n=2n exige donc n=ZERO ... Maintenant remplaçons dans l'équation : P(X+1).P(X-1)=c^2=P(X)=c d'ou c=ZERO ou c=UN . LHASSANE | |
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Maître
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| | Sujet: Re: Je bloque!! Dim 28 Mar 2010, 22:58 | |
| supposons que le degré de P et >=1 , donc le degré de deux côté de l'égalité ne serons pas égaux ,donc on a forcement P(x)=t où t est une constante , d'où t=t² ==> t=0 ou t=1 | |
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