arithmétique

salam,

a,b,c,d £ IN*, prouver que: ad=bc ===> a+ b + c + d n'est pas premier

sans nuir a la géneralité du probléme supposons que :
a>=b>=c>=d
il clair que :
d/b et c/a
donc
d+c/a+b
alors : d+c/a+b+c+d
ce qui prouve que ce nombre n'est pas premier , sauf erreur bien sûr ^^ !!

darkpseudo a écrit:

sans nuir a la géneralité du probléme supposons que :
a>=b>=c>=d
il clair que :
d/b et c/a
donc
d+c/a+b
alors : d+c/a+b+c+d
ce qui prouve que ce nombre n'est pas premier , sauf erreur bien sûr ^^ !!

non...pas forcément ...

lemme(à prouver ) :
si ab=cd alors :

ainsi a+b+c+d=xy+zt+xz+yt=(y+z)(x+t)
conclure....

Tu a raison et il y a une autre faute dans mon raisonnement ; pas fait attention ...

Mon idée s'apparente à celle de MohE. Jugez par vous-même.
Solution complète :
Posons, pour des besoins de concision : .

Ainsi, a divise , et donc, d'après le lemme d'Euclide, a divise (a+b) ou a divise (a+c), ou encore, a divise b ou a divise c.
Par symétrie des rôles, étudions uniquement le cas où a divise b.

Semblablement, on peut déduire que b divise a, ou b divise d.
- Si b divise a :
Puisque a divise b, il vient que a=b (car encore, ce sont des entiers naturels)
Et puisque ad=bc, et que les entiers ne sont pas nuls, il vient que d=c.
Ainsi, P=a+b+c+d = a+a+c+c=2(a+c), qui est divisible par deux, et n'est donc pas premier.
- Si b divise d :
Puisque a divise b, et b divise d, il vient par transitivité que a divise d.
Aussi, puisque b divise d, alors bc divise dc, ad divise dc, et donc, a divise c.
Par suite, a divise a, b, c et d, et donc, a divise (a+b+c+d), a divise P.
P est divisible par a, et n'est donc pas premier.

En conclusion, P est toujours un nombre non premier.

Dijkschneier a écrit:

Mon idée s'apparente à celle de MohE. Jugez par vous-même.
Solution complète :
Posons, pour des besoins de concision : .

Ainsi, a divise , et donc, d'après le lemme d'Euclide, a divise (a+b) ou a divise (a+c), ou encore, a divise b ou a divise c.
Par symétrie des rôles, étudions uniquement le cas où a divise b.

Semblablement, on peut déduire que b divise a, ou b divise d.
- Si b divise a :
Puisque a divise b, il vient que a=b (car encore, ce sont des entiers naturels)
Et puisque ad=bc, et que les entiers ne sont pas nuls, il vient que d=c.
Ainsi, P=a+b+c+d = a+a+c+c=2(a+c), qui est divisible par deux, et n'est donc pas premier.
- Si b divise d :
Puisque a divise b, et b divise d, il vient par transitivité que a divise d.
Aussi, puisque b divise d, alors bc divise dc, ad divise dc, et donc, a divise c.
Par suite, a divise a, b, c et d, et donc, a divise (a+b+c+d), a divise P.
P est divisible par a, et n'est donc pas premier.

En conclusion, P est toujours un nombre non premier.

Une question stp : 5*4=10*2
5+4+10+2 = 21
ce nombre n'est pas divisible par 2 et n'est pas divisible par un des nombres composant l'addition ... trouvez l'erreur ^^'

Citation :

Pour appliquer la lemme d'Euclid, il faut que PGCD(a+b,a+c)=1.

Je ne pense pas. Tu confonds probablement avec le lemme de Gauss.

Citation :

Une question stp : 5*4=10*2
5+4+10+2 = 21
ce nombre n'est pas divisible par 2 et n'est pas divisible par un des nombres composant l'addition ... trouvez l'erreur ^^'

Merci de poser clairement la question.

Voila ce que je voulais dire Dijkshneier :
D'aprés ma modeste comprehension de ta démonstration , le nombre a+b+c+d est divisible soit par 2 soit par a
or :

5*4 = 10 * 2 <==> ad=bc
mais : 5+4+10+2 = 21 et ce nombre n'est divisible ni par a ( tel que est 5 ou 4 ou 10 ou 2 ) ni par 2 ( c'est un peu lourd puisque je viens de le citer avant mais juste par souci de compréhension je le redis ) je conclu d'aprés ce contre-exemple que quelque chose cloche dans ta démonstration ...

Voila une solution que je propose : ( remarque c'est presque celle que j'ai donner au début )
Tout d'abord il est impossible que ad=bc si tout ces nombres sont premiers entre eux :
on a : ad=bc peut alors aussi s'écrire sous la forme kcd=kdc
tel que d et c sont les nombre qui divisent respectivement b et a .
parceque supposons qu'aucun des nombre ne divisent l'autre et que a>=b>=c>=d
a=kb+r et c = nd+p
on aura ad=bc <==> (kb+r)d=(nd+p)b
kbd+rd=nbd+pb
k=n et r = p
ce qui nous donne a=nb+p et c = nd+p donc
a=qe et c=qt
ed=tb <==> b = ed/t
or t ne peut diviser e car si c'est le cas c diviserai a ce qui serait absurde d'aprés ce que nous avions supposer ...
et d'aprés la lemme de gausse t divise necessairement d donc
d=ty ( je commence a manquer de lettre XD )
et de même b = eh ... qety=qteh donc h=y
donc a+b+c+d=qe+eh+qt+ty
=qe+ey+qt+ty
=(q+y)(e+t) donc il n'est pas premier


revenons a nos moutons ^^ :
b=kd et a=kc
donc : a+b+c+d = (k+1)(d+c) qui n'est pas premier ce qui conclu les deux cas ^^ ...Sauf erreur !

darkpseudo a écrit:

Voila ce que je voulais dire Dijkshneier :
D'aprés ma modeste comprehension de ta démonstration , le nombre a+b+c+d est divisible soit par 2 soit par a
or :

5*4 = 10 * 2 <==> ad=bc
mais : 5+4+10+2 = 21 et ce nombre n'est divisible ni par a ( tel que est 5 ou 4 ou 10 ou 2 ) ni par 2 ( c'est un peu lourd puisque je viens de le citer avant mais juste par souci de compréhension je le redis ) je conclu d'aprés ce contre-exemple que quelque chose cloche dans ta démonstration ...

Merci pour ta repartie ; tu as raison, en effet. Et MoHe avait également raison, avant toi.
Pour des entiers a,b et c arbitraires, a divise bc n'implique pas forcément que a divise b, ou a divise c. Mais si a est premier, on tombe alors sur le lemme d'Euclide, et la propriété est vérifiée.
Merci pour vos remarques.