Exercices d'olympiades:

1/Montrez que x^2+y^2>=1/20.
Si x et y sont deux réels vérifiant 2x+4y=1.
2/Trouvez tous les couples d'entiers relatifs vérifiant:
x^2+y^2+2(x+2y)+4<0.
3/Résolvez en IR, l'équation:
x^2+2x+2xV3+3+2V3=0.
4/x et y sont deux réels et f une fonction affine.
Trouvez son expression sachant que f(xy)=f(x)*f(y)-x-y.
Vous pouvez pour cela calculer l'image de quelques nombres.
5/f est une fonction affine.
Calculez f(5)-f(2) sachant que f(4)-f(3)=4.
6/x, y et z et a,b et c sont des réels vérifiant:
c>=b>=a et z>=y>=x.
Montrez que ax+by+cz>=(1/3)(a+b+c)(x+y+z).
Cette inégalité s'appelle l'inégalité de chebychev.
Ici, vous la démontrer en un cas particulier.
Bonne chance.

Pour le premier:


x²+y²-1/20 = (20x²+20y²-1)/20
=(4x²+16x²+4y²+16y²-1+16xy-16xy)/20
=(4y²+16x²-16xy+4x²+16y²+16xy-1)/20
=((2y-4x)²+(2x+4y)²-1)/20
=((2y-4x)²+1²-1)/20
=(2y-4x)²/20
(2y-4x)²>0 car un crré est toujours positif
20>0 et (2y-4x)²/20>0
Donc x²+y²-1/20>0
Finalement x²+y²>1/20
@+

La solution du premier est juste.
J'ajoute celui-ci:
Trouvez tous les fonctions affines vérifiants:
f(x+1)=<f(x)=<f(x)+1.
Bonne chance.

1

On a:
f(x+1)=<x
donc:
f((x-1)+1)=<x-1
f(x)=<x-1 (1)

On a aussi x=<f(x)+1
donc: x-1=<f(x) (2)

De (1) et (2) : f(x)=<x-1=<f(x)
Et on conclu que: f(x)=x-1

nmo a écrit:

f(x)=<f(x)+1.
Bonne chance.

je me demande...à quoi sert cette condition là?? elle est évidente..nan???

Il y a une faute dans l'énnoncé c'est plutot f(x+1)=<x=<f(x)+1.

Azerty1995 a écrit:

Il y a une faute dans l'énnoncé c'est plutot f(x+1)=<x=<f(x)+1.

Effectivement. C'est édité maintenant.

Oui, c'est équivalente à f(x-1)=<f(x)=<f(x)+a.
---------------------------------------------------------------------

Il vous suffit: f(x+1)=<x => f(x)=<x-1 (1)
f(x)+1>=x => f(x)>=x-1 (2)
De (1) et (2) on a: f(x)=x-1
عكسيا :
On a: f(x)=x-1 => f(x+1)=<x+1-1=x
Et: f(x)=x-1 => f(x)+1>=x

Donc il ya une seul fonction ....

Voiçi une autre:
Trouvez tous les fonctions affines vérifiants:
f(x-n)=<x=<f(x)+n

La reponse que j'ai posté est juste??

Azerty1995 a écrit:

La reponse que j'ai posté est juste??

Oui, elle est juste.
Elle ressemble à celle de M.Marjani.

nmo a écrit:

Azerty1995 a écrit:

La reponse que j'ai posté est juste??

Oui, elle est juste.
Elle ressemble à celle de M.Marjani.

N'oublie pas que sans عكسيا = rien

pour l'inegalite de chebychev :
(*) <==> ax+by+cz=ax+by+cz
(**) <==> d'apres reordonnement ax+by+cz>= ay+bz+cx
(***)<==> de meme ax+by+cz>= az+bx+cy
(*)+(**)+(***) <==> 3(ax+by+cz)>= ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz=(a+b+c)(x+y+z)
<==> ax+by+cz>= (1/3)(a+b+c)(x+y+z)
d'ou la conclusion

master a écrit:

pour l'inegalite de chebychev :
(*) <==> ax+by+cz=ax+by+cz
(**) <==> d'apres reordonnement ax+by+cz>= ay+bz+cx
(***)<==> de meme ax+by+cz>= az+bx+cy
(*)+(**)+(***) <==> 3(ax+by+cz)>= ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz=(a+b+c)(x+y+z)
<==> ax+by+cz>= (1/3)(a+b+c)(x+y+z)
d'ou la conclusion

Une solutio juste.
Malheureusement, elle n'est pas autorisé dans les olympiades de collège.

J'essaie de la résoudre avec infos de Collége

f(xy)=f(x)*f(y)-x-y.
x=y=0 =>f(0)=1
x=0 et y=1 => f(0)=f(0)*f(1)-1
=> f(1)=2
x=2 et y=1 => f(2)=f(2)*f(1)-3
=> f(2)=3
x=y => f(x²)=[f(x)]²-2x
f(4)=5
f(5)=6
f(-1)=0
f(-2)=-1
.
.
.
D'ou la fonction affines'écrit sous forme de: f(x)=x+1



3/Résolvez en IR, l'équation:
(E) : x^2+x+2xV3+3+3V3=0.

On a: x^2+x+2xV3+3+3V3=(x+V3)²+(3+3V3)>0
D'ou (E) n'a pas de solution sur |R.

CQFD^^


2/Trouvez tous les couples d'entiers relatifs vérifiant:
(E) x^2+y^2+2(x+2y)+4
=x²+y²+2x+4y+4
=(y²+4y+4)+x²+2x
=(y+2)²+x(x+2)
Il faut que (y+2)²=0 x(x+2)<0
=> y=-2 et x=-1, est le seule couples d'entiers relatifs qui réalise (E).
S={(-1,-2)}

CQFD.

5/f est une fonction affine.
Calculez f(5)-f(2) sachant que f(4)-f(3)=4.
Fonction afine s'écrit sous forme: f(x)=ax+b
a=[f(4)-f(3)]÷(4-3)=4 => f(x)=4x+b
Posons: x=5=> f(5)=20+b (1)
x=3 => f(2)=8+b (2)
(1)-(2): f(5)-f(2)=12

CQFD.

M.Marjani a écrit:

J'essaie de la résoudre avec infos de Collége
f(xy)=f(x)*f(y)-x-y.
x=y=0 =>f(0)=1
x=0 et y=1 => f(0)=f(0)*f(1)-1
=> f(1)=2
x=2 et y=1 => f(2)=f(2)*f(1)-3
=> f(2)=3
x=y => f(x²)=[f(x)]²-2x
f(4)=5
f(5)=6
f(-1)=0
f(-2)=-1
.
.
.
D'ou la fonction affines'écrit sous forme de: f(x)=x+1
3/Résolvez en IR, l'équation:
(E) : x^2+x+2xV3+3+3V3=0.
On a: x^2+x+2xV3+3+3V3=(x+V3)²+(3+3V3)>0
D'ou (E) n'a pas de solution sur |R.
CQFD^^
2/Trouvez tous les couples d'entiers relatifs vérifiant:
(E) x^2+y^2+2(x+2y)+4
=x²+y²+2x+4y+4
=(y²+4y+4)+x²+2x
=(y+2)²+x(x+2)
Il faut que (y+2)²=0 et x(x+2)<0
=> y=-2 et x=-1 sont les seules couples d'entiers relatifs qui réalise (E).
S=(-1,-2)
CQFD.
5/f est une fonction affine.
Calculez f(5)-f(2) sachant que f(4)-f(3)=4.
Fonction afine s'écrit sous forme: f(x)=ax+b
a=[f(4)-f(3)]÷(4-3)=4 => f(x)=4x+b
Posons: x=5=> f(5)=20+b (1)
x=3 => f(2)=8+b (2)
(1)-(2): f(5)-f(2)=12
CQFD.

Pour les exercices des fonctions, c'est juste.
Pour l'équation, c'est ma faute car j'ai oublié le 2.
Maintenant, c'est édité.
Pour le 2, pas forcément car on peut avoir (y+2)²=1 et x(x+2)=-80.
Ainsi (y+2)²+x(x+2)<0.
Je t'invite à un autre essai.
Bonne chance à toi.

M.Marjani a écrit:

Voiçi une autre:
Trouvez tous les fonctions affines vérifiants:
f(x-n)=<x=<f(x)+n

.
Il y a une faute dans l'énoncé.
C'est plutôt: f(x+n)=<x=<f(x)+n.
On a f(x+n)=<x.
On prend x=X.
Donc f(X+n)=<X.
On prend X=x-n.
Donc f(x-n+n)=<x-n.
Donc f(x)=<x-n.==>(1)
Et on a x=<f(x)+n.
Donc x-n=<f(x).==>(2)
De 1 et 2, on conclut que f(x)=x-n.
Réciproquement, soit f une fonction définie par f(x)=x-n.
On a f(x+n)=x+n-n.
Donc f(x+n)=x.
Et f(x)+n=x-n+n.
Donc f(x)+n=x.
On sait que pour tout x de IR, on a x=<x=<x.
Donc f(x+n)=<x=<f(x)+n.
Sauf erreur.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

J'essaie de la résoudre avec infos de Collége
f(xy)=f(x)*f(y)-x-y.
x=y=0 =>f(0)=1
x=0 et y=1 => f(0)=f(0)*f(1)-1
=> f(1)=2
x=2 et y=1 => f(2)=f(2)*f(1)-3
=> f(2)=3
x=y => f(x²)=[f(x)]²-2x
f(4)=5
f(5)=6
f(-1)=0
f(-2)=-1
.
.
.
D'ou la fonction affines'écrit sous forme de: f(x)=x+1
3/Résolvez en IR, l'équation:
(E) : x^2+x+2xV3+3+3V3=0.
On a: x^2+x+2xV3+3+3V3=(x+V3)²+(3+3V3)>0
D'ou (E) n'a pas de solution sur |R.
CQFD^^
2/Trouvez tous les couples d'entiers relatifs vérifiant:
(E) x^2+y^2+2(x+2y)+4
=x²+y²+2x+4y+4
=(y²+4y+4)+x²+2x
=(y+2)²+x(x+2)
Il faut que (y+2)²=0 et x(x+2)<0
=> y=-2 et x=-1 sont les seules couples d'entiers relatifs qui réalise (E).
S=(-1,-2)
CQFD.
5/f est une fonction affine.
Calculez f(5)-f(2) sachant que f(4)-f(3)=4.
Fonction afine s'écrit sous forme: f(x)=ax+b
a=[f(4)-f(3)]÷(4-3)=4 => f(x)=4x+b
Posons: x=5=> f(5)=20+b (1)
x=3 => f(2)=8+b (2)
(1)-(2): f(5)-f(2)=12
CQFD.

Pour les exercices des fonctions, c'est juste.
Pour l'équation, c'est ma faute car j'ai oublié le 2.
Maintenant, c'est édité.
Pour le 2, pas forcément car on peut avoir (y+2)²=1 et x(x+2)=-80.
Ainsi (y+2)²+x(x+2)<0.
Je t'invite à un autre essai.
Bonne chance à toi.

x(x+2)=-80. oOoOo
Dis moi comment svp. Car x(x+2)>=-2

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

J'essaie de la résoudre avec infos de Collége
f(xy)=f(x)*f(y)-x-y.
x=y=0 =>f(0)=1
x=0 et y=1 => f(0)=f(0)*f(1)-1
=> f(1)=2
x=2 et y=1 => f(2)=f(2)*f(1)-3
=> f(2)=3
x=y => f(x²)=[f(x)]²-2x
f(4)=5
f(5)=6
f(-1)=0
f(-2)=-1
.
.
.
D'ou la fonction affines'écrit sous forme de: f(x)=x+1
3/Résolvez en IR, l'équation:
(E) : x^2+x+2xV3+3+3V3=0.
On a: x^2+x+2xV3+3+3V3=(x+V3)²+(3+3V3)>0
D'ou (E) n'a pas de solution sur |R.
CQFD^^
2/Trouvez tous les couples d'entiers relatifs vérifiant:
(E) x^2+y^2+2(x+2y)+4
=x²+y²+2x+4y+4
=(y²+4y+4)+x²+2x
=(y+2)²+x(x+2)
Il faut que (y+2)²=0 et x(x+2)<0
=> y=-2 et x=-1 sont les seules couples d'entiers relatifs qui réalise (E).
S=(-1,-2)
CQFD.
5/f est une fonction affine.
Calculez f(5)-f(2) sachant que f(4)-f(3)=4.
Fonction afine s'écrit sous forme: f(x)=ax+b
a=[f(4)-f(3)]÷(4-3)=4 => f(x)=4x+b
Posons: x=5=> f(5)=20+b (1)
x=3 => f(2)=8+b (2)
(1)-(2): f(5)-f(2)=12
CQFD.

Pour les exercices des fonctions, c'est juste.
Pour l'équation, c'est ma faute car j'ai oublié le 2.
Maintenant, c'est édité.
Pour le 2, pas forcément car on peut avoir (y+2)²=1 et x(x+2)=-80.
Ainsi (y+2)²+x(x+2)<0.
Je t'invite à un autre essai.
Bonne chance à toi.

x(x+2)=-80. oOoOo
Dis moi comment svp. Car x(x+2)>=-2
J'ai oublié un couple: y=-3 et x=-1
Donc c'est tout les couples Mr nmo.

Tu n'as qu'à chercher une autre methode car je ne sais pas pourquoi on a x(x+2)>=-2.
Explique-moi encore.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Voiçi une autre:
Trouvez tous les fonctions affines vérifiants:
f(x-n)=<x=<f(x)+n

.
Il y a une faute dans l'énoncé.
C'est plutôt: f(x+n)=<x=<f(x)+n.
On a f(x+n)=<x.
On prend x=X.
Donc f(X+n)=<X.
On prend X=x-n.
Donc f(x-n+n)=<x-n.
Donc f(x)=<x-n.==>(1)
Et on a x=<f(x)+n.
Donc x-n=<f(x).==>(2)
De 1 et 2, on conclut que f(x)=x-n.
Réciproquement, soit f une fonction définie par f(x)=x-n.
On a f(x+n)=x+n-n.
Donc f(x+n)=x.
Et f(x)+n=x-n+n.
Donc f(x)+n=x.
On sait que pour tout x de IR, on a x=<x=<x.
Donc f(x+n)=<x=<f(x)+n.
Sauf erreur.

Oui, c'est juste. Qu'une faute de frappe :=)

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

J'essaie de la résoudre avec infos de Collége
f(xy)=f(x)*f(y)-x-y.
x=y=0 =>f(0)=1
x=0 et y=1 => f(0)=f(0)*f(1)-1
=> f(1)=2
x=2 et y=1 => f(2)=f(2)*f(1)-3
=> f(2)=3
x=y => f(x²)=[f(x)]²-2x
f(4)=5
f(5)=6
f(-1)=0
f(-2)=-1
.
.
.
D'ou la fonction affines'écrit sous forme de: f(x)=x+1
3/Résolvez en IR, l'équation:
(E) : x^2+x+2xV3+3+3V3=0.
On a: x^2+x+2xV3+3+3V3=(x+V3)²+(3+3V3)>0
D'ou (E) n'a pas de solution sur |R.
CQFD^^
2/Trouvez tous les couples d'entiers relatifs vérifiant:
(E) x^2+y^2+2(x+2y)+4
=x²+y²+2x+4y+4
=(y²+4y+4)+x²+2x
=(y+2)²+x(x+2)
Il faut que (y+2)²=0 et x(x+2)<0
=> y=-2 et x=-1 sont les seules couples d'entiers relatifs qui réalise (E).
S=(-1,-2)
CQFD.
5/f est une fonction affine.
Calculez f(5)-f(2) sachant que f(4)-f(3)=4.
Fonction afine s'écrit sous forme: f(x)=ax+b
a=[f(4)-f(3)]÷(4-3)=4 => f(x)=4x+b
Posons: x=5=> f(5)=20+b (1)
x=3 => f(2)=8+b (2)
(1)-(2): f(5)-f(2)=12
CQFD.

Pour les exercices des fonctions, c'est juste.
Pour l'équation, c'est ma faute car j'ai oublié le 2.
Maintenant, c'est édité.
Pour le 2, pas forcément car on peut avoir (y+2)²=1 et x(x+2)=-80.
Ainsi (y+2)²+x(x+2)<0.
Je t'invite à un autre essai.
Bonne chance à toi.

x(x+2)=-80. oOoOo
Dis moi comment svp. Car x(x+2)>=-2
J'ai oublié un couple: y=-3 et x=-1
Donc c'est tout les couples Mr nmo.

Tu n'as qu'à chercher une autre methode car je ne sais pas pourquoi on a x(x+2)>=-2.
Explique-moi encore.

x(x+2)>=-2.
Si tu prends: x>=0 => x(x+2)>=0
Si tu prends: x=-1 => -1(-1+2)=-1
Si tu prends: x=-2 => -2(-2+2)=0
Si tu prend: x£]-00,-3] => x(x+2)>0
Donc: x(x+2)>=-2 dans |R ...
Au plaisir

Ce qui implique qu'il ya un seul couple S={(-1,-2)}.
Il n'ya pas d'autres couples. car x^2+y^2+2(x+2y)+4<0

Tu n'as qu'a prendre: x=-1 => -1(-1+2)=-1 car :(y-2)²>=0
En plus: y=-3 et x=-1 est faux. car: x^2+y^2+2(x+2y)+4 devient =0