Exercises: Produits scalaires.

Soit ABC un triangle équilatéral tel que: AB = 6
Soit O le centre du cercle circonscrit.
Calculer : OA.OB (Vecteurs).

Bonne chance.

Ajoutez aussi:

Soit ABCD un parallélogramme tel que: AB = 6, AD = 4 et l' angle D = 60°.
Calculer: AB.AD (Vecteurs), Puis AC.BD (Vecteurs).

Pour le 1er:
on a:OA.OB=IIOAII.IIOBII.cosBOA
=OA²*cosBOA (Puisque o est centre du cercle circonscrit)
alors: OA.OB=OA²*cos120
Donc: OA.OB=-OA²/2
et puissque: AB²=OB²+OA²-2OA.OB.cosO
Alors: 3OA²=36
donc: OA=2V3
D'ou:OA.OB=-6
En ésperrant que ça soit juste!

Pour le 2eme:
1-On a : AB.AD=AB.AD.cosA
et puisque: A+D=180
Alors: A=120
DOnc:AB.AD=-12
2-On a:AB.BD=-AB²+AB.AD+AD.BA+AD²
alors:AC.BD=-20

Nice W.Elluizi, tout est juste! Félicitaion.

Si t'a encore plus d'exos ,poste les! (il est préférable qu'ils soient un peu plus difficile)!

Okey
Exercise 3:
Soit et .
Calculer ; qu'en déduit-on pour et ?
Vérifier ce résultat par un autre calcul.

Exercise 4:
1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité :
2. Application : montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur.

Exercise 5:

On considère dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].

1. Montrer que AI = V33 cm.

2. a) Soit M un point du plan.
Pour quelle valeur du réel m le vecteur est-il égal à un vecteur indépendant du point M ?
Déterminer alors en fonction du vecteur .
b) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que : -MA² + MB² + MC² = -25.

Exercise 6:
ABCD est un tétraèdre, tel que AB = CD = a. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AD], [BC], [AC] et [BD].
1. Montrer que et que [img]http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{DC}} = 2 \overrightarrow{\text{KL}}[img].
2. Montrer que (IJ) et (KL) sont sécantes et orthogonales.
3. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Calculer la longueur de ses côtés en fonction de a.
4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que IKJL soit un carré.

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Pour qu'on anime le jeu, chaque solution d'un exercise qui doit étre juste, serait noté par 2 points.

Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

Exercise 4:
1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité :
2. Application : montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur.

1-On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
2-Application:
Soit (AA'), (BB'), et (CC') les hauteurs de ABC.
Soit H l'intersection de (AA') et (BB').
Si H=M.
Alors: .
Les produits et étant nuls car (AH) est perpendiculaire à (BC) et (BB') est perpendiculaire à (AC).
Donc .
Ce qui prouve que (CH) est perpendiculaire à (AB).
Ainsi H fait partie de la troisième hauteur (CC').
CQFD.

Bien, +2pts à nmo.
Bonne chance.