Exo par Exo ( en attendant le jeu d'été)

slm ! mrc pour les rep !

P.S j'ai b1 aimer la soluc de master ! et lidée du trigonométrie !

tarask a écrit:

je crois que delta est tjs >0 nn? (4+4y²)

Bien remarqué ! Tout part en vrille, dans ce cas.

en tout cas j'ai bien aimé ta méthode (la représentation...)

On a: 2x+x²y=y => x(2+xy)=y => 2=(y/x)-xy
D'ou: y/x > xy => x²<1 => -1<x<1
Méme façon aux autres equation: y²<1 et: z²<1.

En sommant les trois equations on trouve: x+y+z=2(x+y+z)+x²y+z²x+y²z
=> x+y+z+x²y+z²x+y²z=0
Et changant de variables puisque x²<1, y²<1, z²<1: x=1/a;y=1/b;z=1/c
Donc: 1/a + 1/b +1/c = 1/a²b + 1/b²c + 1/c²a
<=> (ab+bc+ac)/abc = (a²*b^3*c + b²*c^3*a + c²*a^3*b)/(abc)^3
<=> ab+bc+ac = b/c +c/a +a/b
Puisque: abc=<1, on utilise () pour touver: 2a/b + b/c >= 3*{3}V(a²/bc)>=3a
De méme façon: 2b/c + c/a >=3b et: 2c/a + a/b >=3c
en somant les trois inigalités on trouve : ab+bc+ac=b/c +c/a +a/b >= a+b+c
Mais: ab+bc+ac=<a+b+c. Donc: ab+bc+ac=a+b+c.
D'ou: a=b=c=0 car: |a|=/1
Donc: S={0,0,0}.
()=مقارنة الوسطين الحسابي والهندسي
Merci.

kelkun nous poster un exo ^^ ! car je n'ai aucun exo, et je m'excuse si j'ai rater les régles du jeu !

slm les amis voila un exo !
résoudre le systéme des équations :

et
xy+yz+xz=1

premierement on a :


mnt supposons :

d'ou


donc a,b,c sont les angles d'un trinagle ===> (x,y,z) une solution , alors (-x,-y,-z) meme une soluc !

d'apres les équations , il existe un reél k tq :


et on a :


alors :


avec la loi des sinus on aurait :


ce qui conduit a :


de meme facon pour déduire que :
y=1/2

finalement on conclu que :
S={(1/3,1/2,1);(-1/3,-1/2,-1)}

Continuons alors avec notre jeu et voici un autre exo:

C'est un exercice très classique de la fonction partie entière, c'est très connu.

oui Thalès jviens dle dire à master qui allait poster la solution mais jlui ai demandé dne pas faire pour voir les autres participer !

Je me lance alors ..

4n + 2 = 2n + 2n +1 + 1
4n + 2 = n + 2 + [√n * √(n+1) ]+ n + 1
4n + 2 = [√n]² + 2 * √n * √(n+1) + [√(n+1)]²
4n + 2 = [ (√n) + √(n+1)]²

On peut en conclure
√(4n + 2) = (√n) + √(n+1)

dsl houda mais le [x] veut dire la partie entière le E(x) ( et je crois que votre soi-disant solution est fausse)

slm , c un célébre exo , just vous remarquer que
V(n)+V(n+1)<V(4n+2)
et prouver que :
V(n)+V(n+1)<K<= V(4n+2) ===> 2n+1+2V(n²+n)<k²<=4n+2(*)
c b1 vu que :
V(4n+1)<V(n)+V(n+1)
donc on déduit que K²=4n+2 ===> contradiction !

pour le systém que j'ai proposer , je viens pas de comprendre ta méthode master! si c'est possible kelkun m'explique , car j'ai b1 aimer l'idée !

kk vous n'avez po compris mithing?

master a écrit:

slm , c un célébre exo , just vous remarquer que
V(n)+V(n+1)<V(4n+2)
et prouver que :
V(n)+V(n+1)<K<= V(4n+2) ===> 2n+1+2V(n²+n)<k²<=4n+2(*)
c b1 vu que :
V(4n+1)<V(n)+V(n+1)
donc on déduit que K²=4n+2 ===> contradiction !

Bien Master. C'est ce que je viens d'écrire;
(V(n)+V(n+1))²<V(4n+2) ² ==> 1>0 ce qui est juste.. Donc il existe un réel k £ |R se variant tels que: V(4n+2))=k+V(n)+V(n+1) (avec: K>0)
On peut l'exprimer aussi de cette façon: V(n)+V(n+1)<K<= V(4n+2)
Et puis conclure.

Sinon j'avais une autre methode, en utilisant le cours que m'a donné Tarask :d

On déja montrer que Vn+V(n+1)<V(4n+2), Donc E(Vn+V(n+1))=<E(V(4n+2))
Supposons que l'on ait E(Vn+V(n+1))<E(V(4n+2)) et notons: E(V(4n+2))=p.
Dans |N, E(Vn+V(n+1))<p équivaut à: E(Vn+V(n+1))=<p-1.
On a: Vn+V(n+1)-1< E(Vn+V(n+1))=<p-1 donc: Vn+V(n+1)<p.
Et avec: p=E(V(4n+2))=<V(4n+2), il vient alors: Vn+V(n+1)<p=<V(4n+2).
Eliminons les racines carrées en élevation au carré.
On a donc: 2n+1+2V(n(n+1))<p²=<4n+2.
Ou encore: 2V(n(n+1))<p²-2n-1=<2n+1.
En posant: q=p²-2n-1>=0, une nouvelle élevation au carré:4n²+4n<q²=<4n²+4n+1.
Il n'ya pas d'entier strictement compris entre deux entiers consécutifs.
donc, dans un contexte d'entiers, q²=4n²+4n+1.
Alors q²=(2n+1)² donne q=2n+1puis p²=4n+2.
Ce qui montre que le reste de la division euclidienne de p² par 4 est 2.
Or tout carré d'entier ne peut avoir que 0 ou 1 pour reste dans la division euclidienne par 4. Il suffit en effet d'examiner:
(2k)²=4k² et (2k+1)²=4k(k+1)+1.
Celà veut dire que notre hypothése est contradictoire et en conclusion: E(Vn+V(n+1))=E(V(4n+2)).

Merci.

bonsoir tt le monde , et bien pour sauver le jeu je vous propose cette inégalité:

bonne chance !

slt :


supposons une fonction f tel que f(x)=x^4 ==> convexe
alors Jensen conduit a :


d'ou on conclu :

oui master bien fait il te reste l'autre partie!!

master a écrit:

slt :


supposons une fonction f tel que f(x)=x^4 ==> convexe
alors Jensen conduit a :


d'ou on conclu :

tarask a écrit:

oui master bien fait il te reste l'autre partie!!

Thalès a écrit:

Si, justement. Pour que 1/27 soit effectivement un minimum, il faut en plus de montrer l'inégalité, prouver qu'il y a égalité pour un certain triplet (x,y,z) à déterminer. L'égalité n'est possible d'après Holder que ssi x^4=y^4=z^4, c'est-à-dire, x=y=z, puisque les nombres sont positifs. La condition (x+y+z)^4 = 32xyz nous affirme finalement que ce cas d'égalité n'a lieu que ssi x=y=z=0 ou x=y=z=32/3^4. Le cas x=y=z=0 est à retirer en vue du domaine de définition de l'expression.

C'est plutôt : (x+y+z)^3=32xyz , le cas x=y=z est impossible.

Thalès a écrit:

C'est plutôt : (x+y+z)^3=32xyz , le cas x=y=z est impossible.

Merci pour la correction. Alors dans ce cas, 1/27 n'est pas le minimum de l'expression.

Il doit forcément y avoir une erreur, la question serait plutôt de minorer l'expression et non pas de déterminer la valeur minimale.