un difficle exercice d'inégalité

voila un problème de math que j'ai pa pu résourdre.
j'ai besoin de votre aide
donc svp aidez moi et merci d'avance!
voici l'énoncé du problème:

x, y, z et t sont des nombres à tel point que:
x>= -1 et y>= -1 et z>= -1 et t>= -1 et x+y+z+t=2
démontrez que:
x^3 + y^3 + z^3 + t^3 >= 1/2

Si x,y,z,t>0, alors la convexité de x-->x^3 sur IR+ donne
(x+y+z+t)^3 =< 16(x^3+y^3+z^3+t^3)
==>x^3+y^3+z^3+t^3 >=1/2.

Sinon, quite à changer l'ordre, on peut supposer t€]-1,0]. ....

slt a tout le monde
x^3+y^3+t^3+z^3=3(x+y)(zt-xy)-2(1+3zt)
mais j'ai rien trouver aucune chose
relie l'ennonce svp

merci M.attioui, jai compris votre méthode, mais jai pas compris comment vous avez obtenu:
(x+y+z+t)^3 =< 16(x^3+y^3+z^3+t^3) ???
svp pouvez vous l'expliquer plus clairement?

juste une question : ou t as trouvé cette inégalité ?

rim hariss a écrit:

merci M.attioui, jai compris votre méthode, mais jai pas compris comment vous avez obtenu:
(x+y+z+t)^3 =< 16(x^3+y^3+z^3+t^3) ???
svp pouvez vous l'expliquer plus clairement?

On l'appelle aussi l'inégalité de Jensen ( qui est une autre chose plus poussé)

((x+y+z+t )/4)^3 =< (x^3+y^3+z^3+t^3)/4 bien sûre ici x,y,z,t sont tous positifs

abdelbaki.attioui a écrit:

Si x,y,z,t>0, alors la convexité de x-->x^3 sur IR+ donne
(x+y+z+t)^3 =< 16(x^3+y^3+z^3+t^3)
==>x^3+y^3+z^3+t^3 >=1/2.

Sinon, quite à changer l'ordre, on peut supposer t€]-1,0]. ....

Sinon, veut dire que si x,y,z,t ne sont pas tous positifs, alors parmi ces réels il y en a au moins un qui est négatif que l'on peut supposer t. Peut-être ceci va aider à réduire le nombre de paramétres ....