Inégalité (simple)

Prouver que pour tout a,b,c strictement positifs, on a :


Par minhhoang

oussama1305 a écrit:

Prouver que pour tout a,b,c strictement positifs, on a :


Par minhhoang

Salut Oussama je poste ma solution
Remarquons que l'inégalité est equivalente à


par Cauchy-Shwarz


donc il suffit de Montrez que

ou bien ce qui equivaut à

ce qui est vrai

Parfait, rien à dire .

On pose :

On a :

Et :

L'inégalité est homogène, nous pouvons donc supposer que :
L'inégalité à démontrer équivaut alors à :



Si ; c'est fini.
Si :
D'après l'inégalité de Schur pour :

Il suffit alors de prouver que :


Ce qui est clairement vrai.

Je vous propose une deuxième méthode de résolution :
L'inégalité équivaut à :

Soit ; et les côtés d'un triangle.
Donc :
Où le demi-périmètre du triangle ; le rayon du cercle circonscrit au triangle et le rayon du cercle inscrit au triangle.
L'inégalité à démontrer équivaut alors à :


Ce qui est vrai (voir la démonstration ici)

salam
king

2e méthode

A vérifier que : a+b , b+c , a+c sont-ils toujours des côtés d'un triangle ??

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Bah oui a+b<= (b+c)+(a+c)
et b+c <= (a+b)+(a+c)

Donc il y'a un bien un triangle dont les cotés sont égales à a+b, b+c, a+c.

Othmaann a écrit:

Bah oui a+b<= (b+c)+(a+c)
et b+c <= (a+b)+(a+c)

Donc il y'a un bien un triangle dont les cotés sont égales à a+b, b+c, a+c.

En effet, sachant que les réels , et sont strictement positifs.

salam

king

a , b , c sont les côtés d' un triangle

si et seulement si

|b-c| < a < b+c ( < au sens large)

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houssa a écrit:

salam

king

a , b , c sont les côtés d' un triangle

si et seulement si

|b-c| < a < b+c ( < au sens large)

...................................................

Prière de se renseigner sur la transformation de Ravi, car ce que vient de faire King, c'est la réciproque de cette transformation.

salam
oussama1305

ma remarque ne nécéssite pas tant de savoir

c'est juste une vérification de rigueur.

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