Inégalité Géométrique

Soit $Inégalité Géométrique 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8$ , $Inégalité Géométrique E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98$ et $Inégalité Géométrique 84a516841ba77a5b4648de2cd0dfcb30ea46dbb4$ les côtés d'un triangle $Inégalité Géométrique 3c01bdbb26f358bab27f267924aa2c9a03fcfdb8$ .
On note $Inégalité Géométrique 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759$ le demi-périmètre du triangle ; $Inégalité Géométrique 06576556d1ad802f247cad11ae748be47b70cd9c$ le rayon du cercle circonscrit au triangle et $Inégalité Géométrique 4dc7c9ec434ed06502767136789763ec11d2c4b7$ le rayon du cercle inscrit au triangle.
Prouver que :
$Inégalité Géométrique 9fb5658ef9bdf75733b40194dee6dbc5284e7550$

Personne

Je posterai ma solution d'ici 24H si personne ne le fait avant moi, je vous conseille d'attaquer le côté gauche car il est plus simple.

Ma preuve de l'inégalité de gauche, postée sur mathlinks :

"It is well-known that : $Inégalité Géométrique Bf40e3b28e5463d86142dc85115771070c458d8b$ and $Inégalité Géométrique 9223836c323f68445366fc53fac930454fc44894$
The first inequality to prove becomes :
$Inégalité Géométrique Cddbef6c2c64809e8a8ef5d39f4c49fec9663b87$
Which is equivalent, after expansion, to :
$Inégalité Géométrique 18f7f843775eba0ff6ebde20d6f968109733e28a$
By Gerretsen's inequality : $Inégalité Géométrique 75f747235f53e8c360f2062b48dda4f48d6875b1$
So : $Inégalité Géométrique 4ef5e1ff4dc675734197fdb16291909c1c99598c$ , which is true by the famous inequality : $Inégalité Géométrique 35e1b6549371fccba3edb8d56b43aa0556f41134$
Done."

Désolé, je n'ai pas eu le temps de traduire.

oussama1305 a écrit:: Désolé, je n'ai pas eu le temps de traduire.

Les solutions en anglais sont belles, il ne fallait pas penser à traduire Smile

Et pour compléter la preuve, l'inégalité de droite équivaut à :
$Inégalité Géométrique 9fb41336314fbea8c19ce394a3e805bc90548e0e$
D'après l'inégalité de Blundon :
$Inégalité Géométrique 7dc3af03b8a1d0468de86fa39666a5fa00805f23$
Il suffit alors de prouver que :
$Inégalité Géométrique F6e5ebdc2710419e7c7913e0076b6d9c2771cbe5$
$Inégalité Géométrique 74de71829c611d0412176229fcdef3a379a37a39$
$Inégalité Géométrique 4dd6908e54985d229137c6950afe823f9f4cc564$ avec $Inégalité Géométrique Ee93cef9ae5b3ba1ab64eaf09286d2e35ee87811$
$Inégalité Géométrique 589f896bf042e1ecbf5d91df537872962583ff11$
Ce qui est clairement vrai.
L'inégalité suivante est très utile :
$Inégalité Géométrique 01aea10eab5247a4d36f817816924c5c027b6499$

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