inégalité géométrique

soit ABC un triangle rectangle Prouvez que R>=(1+sqrt(2))r , avec R: le rayon du cercle circonscrit , r: le rayon du cercle inscrit
A+

Déjà posté je crois

je ne crois pas , ( ne la confonds pas avec celle de R>=2r)
A+

neutrino a écrit:

je ne crois pas , ( ne la confonds pas avec celle de R>=2r)
A+

Ca se démontre avec la meme methode que R>=2r

(Les formules de trigonométrie)

Fourrier-D.Blaine a écrit:

neutrino a écrit:

je ne crois pas , ( ne la confonds pas avec celle de R>=2r)
A+

Ca se démontre avec la meme methode que R>=2r

(Les formules de trigonométrie)

l7ira fl hadra , rédige ta démo alors

OI*2=R*2-2Rr

divise les deux cotes par r*2

remarque que OI est superieur a r

posons X=R/r donc on aura

X*2-2X>1 ....

neutrino a écrit:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

neutrino a écrit:

je ne crois pas , ( ne la confonds pas avec celle de R>=2r)
A+

Ca se démontre avec la meme methode que R>=2r

(Les formules de trigonométrie)

l7ira fl hadra , rédige ta démo alors

hi lowla akhay neutrino

Using:
S=abc/4R S=rp ,Heron's formula (S²=p prod (p-a) ) yields the inequality equivalent to:

To deal with this we use Ravi substitution:
a=y+z etc implies the inequality is equivalent to:


OR:


assume a²=b²+c² then yz=x(x+y+z) then y²z=... yz²=...

plug in into the last inequality and it's equivalent to:


now apply AM-GM (x²y+xy²)+(x²z+xz²) > 2 sqrt(x²y+xy²)(x²z+xz²)=2sqrt2 xyz

Done.

abdou's proof is also true.

c'est comme tuer un mouche avec une bombe , bon il existe une démo plus simple ( du tronc commun)

J'ai trouvé qu'on doit prouver que pour chaque a,b et c cotés d'un triangle rectangle on a :
a²+b²+c² >= (4+4V2)abc/(a+b+c),je vais essayer de continuer.

ok, bonne chance rachid

neutrino a écrit:

c'est comme tuer un mouche avec une bombe , bon il existe une démo plus simple ( du tronc commun)

Ok, alors poste la !

ona : S=bca/4R ,<=> 4R= abc/S <=> 4R= abc/(bc)/2
<=> , R=a/2
or : r*p=S , tel que p=(a+b+c)/2
<=> r= 2*S/(a+b+c)= bc/(a+b+c)
so l'inégo devient:

a/2 >= bc(1+sqrt(2)/(a+b+c)

<=> (a+b+c)*a/2 >= bc(1+sqrt(2))

<=> (sqrt(b²+c²)+b+c)* sqrt(b^2+c^2)/2 >= bc(1+sqrt(2))

or avec AM-GM : sqrt(b^2+c^2)>= sqrt(2)*sqrt(bc)
b+c >= 2sqrt(bc)
sqrt(b^2+c^2)/2 >= sqrt(bc)/sqrt(2) , d'ou le résultat!!

Je continue la solution:
a²+b²+c² >= (4+4V2)abc/(a+b+c)==> c >= (2+2V2)ab/(a+b+c)==>c²+ac+bc>=2ab +abV2==>ac+bc>=abV2 (car a²+b²=c²>=2ab),
ce qui est vrai puice que :ac+bc >= 2cVab>=abV2.

J'ai suit la meme demarche que neutrino pour arriver au premier resultat.