salam
en utilisant les formules donnant l'air d'un trinagle S=pr=(ha.a)/2=(hb.b)/2=(hc.c)/2
ou a,b,c sont les cotés du tringle , S désigne l'air du triangle , p=(a+b+c)/2 le demi périmétre du triangle et ha,hb,hc désignent les hauteurs du triangle issues des points A, B, C réspectivement.
On a donc ha+hb+hc=2pr/a+2pr/b+2pr/c
ha+hb+hc=r(a+b+c)/a+r(a+b+c)/b+r(a+b+c)/c
ha+hb+hc=r(1+b/a+c/a)+r(a/b+1+c/b)+r(a/c+b/c+1)
ha+hb+hc=r[3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)]
or d'apres l'inégalité bien connue x+1/x>=2 pout rout x positif avec égalitée si x=1
on b/a+a/b>=2 et c/a+a/c>=2 et b/c+c/b>=2 avec égalitée si et seulement si a=b=c
donc ha+hb+hc>=r(3+2+2+2)
c'est à dire ha+hb+hc>=9r avec égalité si et seulement si a=b=c
conclusion ha+hb+hc=9r si et seulement si le trinagle est equilatérale .
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