Exo dure de suites numérique !!!!

Salam Aleikum je suis tombé sur un exo qui me parait un peux difficile




Merci !

aucune réponse ??

1 - a- récurrence: pr n=1: U1 >=1

on suppose que Un>=1

il faut démontrer que U(n+1) >=1

c'est clair vu que: 2*Un>=2 et (n+2)/n(n+1) >0

b- U(n+1) - Un= Un + (n+2)/n(n+1) >0

donc: (Un) tazayoudiya

2- a- V(n+1) = U(n+1) + 1/(n+1) = 2*Un +(n+2)/n(n+1) + 1/(n+1) = 2* [Un + (2n+2)/(2n*(n+1)) ] = 2*[Un+1/n] = 2* Vn

donc: (Un) géométrique à raison 2

b- Un = Vn - 1/n

vu que (vn) est géo. (q=2) : Vn=V(1)*2^(n-1) = 2*2^(n-1) = 2^n

donc: Un= 2^n - 1/n

3 - U1+U2+...+Un= V1 + V2 +...+Vn - (1/1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n)
= 2* (1-2^n)/(1-2) - (1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n) (car (Vn) géo.)
donc: U1+...+Un= 2^(n+1) - 2 - (1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n)

4- récurence... jéditeré après

salam

en réalité c'est classique
________________________________

1) a-Par récurrence
b- Un+1 - Un = ....... >0

2) a- V(n+1) = U(n+1) + 1/(n+1)
= 2Un + (n+2)/(n.(n+1)) +1/(n+1)
= 2Un+ 2/n
= 2.Vn

b- Un= Vn -1//n = V1.2^(n-1) -1/n = 2^n -1/n

3)a- Somme(Uk) = U1 +U2 +.........+Un = (2-1)+(2²-1/2)+..........+(2^n -1/n)
= (2^(n+1) - 2) - (1+1/2+1/3+.....+1/n)

b-Vk²= UkVk + Vk/k ====> 2^2k > Uk.Vk

===>1/UkVk < 1/4^k

Somme (1/Uk.Vk) < 1/4 + 1/4² + .........+ 1/4^n < 1/3[ 1 - 1/4^n ]

donc une erreur dans l'énoncé
_______________________________________________

mes excuses pour hamouda j'ai pas vu ton message
__________________________________________________

pour la 4 eme question je ne pense pas qu'il ya erreur dans l’énoncé .

J'espère qu'une réponse pour la 4ème question sera bientôt postulée , c'est la seule qui pose un minimum de soucis dans l'exo

ben jusqua 3 c'est un peu difficile mais resolvable pour 4 je ne sais pas mais j'en penserai

Pour 4)
On a:
Vn>=Un
donc 1/UnVn>=1/V²n
==> sigma 1/UnVn>=sigma 1/V²n
sigma 1/V²n =sigma (1/2)^2n=sigma (1/4)^n = (1-(1/4)^n)/4(1-1/4)=(1-(1/4)^n)/3
d'ou le resultat.