Série numérique

Établir la convergence puis calculer la somme de :

Salam,
pour la convergence c'est une série alternée, et 1/(2n+1)² tend vers 0 quand n tend vers l'infini, donc la série converge.

oué oué tu te doutes bien que la difficulté de l'exercice réside dans le calcul de la somme. C'est juste pour justifier son existence
Cependant tu oublies la condition de décroissance du terme général de la série , sans quoi tu ne peux pas conclure...

Oui, c'est clair que le terme général est une fonction décroissante.

On pose f(x)=sum (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)² . f est définie est continue sur [-1,1]


f est C00 sur ]-1,1[ ( série entière)


Pour tout x dans ]-1,1[ :
xf'(x)= sum (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1) en dérivant
f'(x)+xf''(x)=sum (-x²)^n= 1/(1+x²) ( la somme n=0 à +00)

==> f(x)= int( 0 , x) arctan(t) /t dt ( f impair f(0)=0 , f' est paire f'(0)=1 )

par continuité sum (-1)^n /(2n+1)² = int( 0,1) arctan(t) /t dt

Bonjour

Pour la justification de la convergence vou n'avez pas besoin des series alternées car la série est absolument convergente ...
Pour le calcul de la somme, la méthode des series entièrs ne peut se comprendre par les élèves de sup car ils font les séreis numériques et pas les series entières (si je ne me trompe pas)

Bonsoir à tous et à toutes

Bon pour la série c'est evidement qu'elle est convergente (soi en utilisant la notion de l'absolue soi l'alternativité de la serie), le calcul de la somme je crois qu'il est assez facile sans utiliser une telle notion dépasse le niveau sup. Pour l'information:
la serie est pour la somme K = (int(0,1) arctan(x)/x dx) - 1 (Mr abdelbaki a calculé la somme à partir de 0 mais Othmann a defini la serie à partir de rang = 1).
La constante C = K+1 est connue déja par la constante de Catalan = 0,915.... (on sait pas encore s'elle est rationnelle ou non même s'elle est algébrique ou transcendant !!!)
vous pouvez lire sur la fonction Bêta de Dirichlet et remarquez que C = β(2)...
et merci