pour l'année prochaine :P

Maître Nombre de messages : 70 Age : 28 Date d'inscription : 07/12/2010

considerons f une fonction tel que f(x)=x^3 +ax + 1 (tel que a un nombre réel strictement positive )
M.Q que f est injective queen

Spoiler:

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 29 Date d'inscription : 05/03/2010

ali-mes a écrit:

Spoiler:

On dit que f est injective sur Df si la relation suivante est vérifié : Pour tout x,y de Df : f(x) = f(y) => x = y .

Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est injective, c'est-à-dire que deux éléments de I distincts ont des images distinctes.

En effet, si x, y sont deux éléments de I distincts on a

si x < y alors f(x) < f(y),
si x > y alors f(x) > f(y),

donc dans les deux cas, f(x) et f(y) sont distincts.

Source: Wikipedia.

Comment montrer que f est strictement croissante sur IR ?

Le taux de variation fera l'affaire ...

Soient x et y deux éléments différents de IR. On a :

$pour l'année prochaine :P Gif.latex?\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{x^3+ax+1-y^3-ay-1}{x-y}=\frac{(x^3-y^3)+a(x-y)}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}+\frac{a(x-y)}{x-y}=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}+a=x^2+xy+y^2+a=(x^2+xy+\frac{1}{4}y^2)%20+\frac{3}{4}y^2+a=(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2+a%20\;%20\;%20\;%20\;%20et%20\;%20puisque\;%20\;%20a%3E%200%20\;%20\;%20\;%20alors%20\frac{f(x)-f(y)}{x-y}%3E%200\Leftrightarrow%20f%20\;%20\;%20est%20\;%20strictement%20\;%20\;%20croissante\;%20\;%20\;%20sur\;%20\;%20\mathbb{R}.%20\;%20\;%20D%27o%C3%B9\;%20\;%20le%20\;%20\;%20r%C3%A9sultat\;%20\;%20voulut$

En attente de vos remarques .....

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 29 Date d'inscription : 05/03/2010

ali-mes a écrit:: Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est injective, c'est-à-dire que deux éléments de I distincts ont des images distinctes.

En effet, si x, y sont deux éléments de I distincts on a

si x < y alors f(x) < f(y),
si x > y alors f(x) > f(y),

donc dans les deux cas, f(x) et f(y) sont distincts.

Source: Wikipedia.

Comment montrer que f est strictement croissante sur IR ?

Le taux de variation fera l'affaire ...

Soient x et y deux éléments différents de IR. On a :

$pour l'année prochaine :P Gif.latex?\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{x^3+ax+1-y^3-ay-1}{x-y}=\frac{(x^3-y^3)+a(x-y)}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}+\frac{a(x-y)}{x-y}=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}+a=x^2+xy+y^2+a=(x^2+xy+\frac{1}{4}y^2)%20+\frac{3}{4}y^2+a=(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2+a%20\;%20\;%20\;%20\;%20et%20\;%20puisque\;%20\;%20a%3E%200%20\;%20\;%20\;%20alors%20\frac{f(x)-f(y)}{x-y}%3E%200\Leftrightarrow%20f%20\;%20\;%20est%20\;%20strictement%20\;%20\;%20croissante\;%20\;%20\;%20sur\;%20\;%20\mathbb{R}.%20\;%20\;%20D%27o%C3%B9\;%20\;%20le%20\;%20\;%20r%C3%A9sultat\;%20\;%20voulut$

En attente de vos remarques .....

C'est juste.
Il fallait dire plutôt au premier poste : "Si f est strictement croissante" .
Donc la règle que j'ai donnée est très utile, et vaut mieux que la perte du temps en calculant le taux de variations .
Une deuxième chose, c'est que l'implication inverse de la règle précédente, est un cas spécial de "f strictement croissante sur |R", et qui fonctionne très rapidement .

M.Marjani a écrit:

ali-mes a écrit:: Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est injective, c'est-à-dire que deux éléments de I distincts ont des images distinctes.

En effet, si x, y sont deux éléments de I distincts on a

si x < y alors f(x) < f(y),
si x > y alors f(x) > f(y),

donc dans les deux cas, f(x) et f(y) sont distincts.

Source: Wikipedia.

Comment montrer que f est strictement croissante sur IR ?

Le taux de variation fera l'affaire ...

Soient x et y deux éléments différents de IR. On a :

$pour l'année prochaine :P Gif.latex?\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{x^3+ax+1-y^3-ay-1}{x-y}=\frac{(x^3-y^3)+a(x-y)}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}+\frac{a(x-y)}{x-y}=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}+a=x^2+xy+y^2+a=(x^2+xy+\frac{1}{4}y^2)%20+\frac{3}{4}y^2+a=(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2+a%20\;%20\;%20\;%20\;%20et%20\;%20puisque\;%20\;%20a%3E%200%20\;%20\;%20\;%20alors%20\frac{f(x)-f(y)}{x-y}%3E%200\Leftrightarrow%20f%20\;%20\;%20est%20\;%20strictement%20\;%20\;%20croissante\;%20\;%20\;%20sur\;%20\;%20\mathbb{R}.%20\;%20\;%20D%27o%C3%B9\;%20\;%20le%20\;%20\;%20r%C3%A9sultat\;%20\;%20voulut$

En attente de vos remarques .....

C'est juste.
Il fallait dire plutôt au premier poste : "Si f est strictement croissante" .
Donc la règle que j'ai donnée est très utile, et vaut mieux que la perte du temps en calculant le taux de variations .
Une deuxième chose, c'est que l'implication inverse de la règle précédente, est un cas spécial de "f strictement croissante sur |R", et qui fonctionne très rapidement .

Merci pour ta réponse Very Happy

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