Marathon d'Oraux

Comme on en voit un peu partout dans le forum , je vous propose un marathon d'oraux.
Ce sujet est spécifique aux problèmes d'Anlgèbre, un sujet similaire a été créé pour ceux d'Analyse.
Les problèmes et les solutions doivent se suivre. Si quelqu'un qui répond à un problème n'a pas de nouveau problème à proposer, qu'il l'indique clairement ! D'autres s'en chargeront, si possible.
Merci de :
- Numéroter clairement les problèmes, et citer le numéro du problème dans la solution que l'on en donne.
- Spoiler les solutions.
- Ne pas poster de solutions incomplètes et par conséquent, ne pas attendre de confirmation pour reproposer un nouveau problème.
- D'indiquer l'école et la filière du problème concerné.

Problème n°1(Centrale , MP) :
Trouver les P de C[X] vérifiant : P(X²)=P(X)P(X+1)
Accessible aux sups.

Spoiler:

Problème n°2 (Centrale/Mines : classique)
Montrer que le déterminant d'une matrice symétrique réelle définie positive est majoré par le produit de ses éléments diagonaux.
P.S: pour les quelques sup qui ne savent pas la définition d'une matrice symétrique : tansposée de A =A

Solution du probleme 2 :

Spoiler:

voici mon probleme 3: (source : littérature)
soit n un entier >=2 , montrer que le degré du corps de racines de X^n-1 , vu comme extension de Q est phi(n) : , ou phi(n) est l'indicateur d'Euler

Justement, c'est l'inégalité de Hadamard qu'il faut prouver dans le cas symétrique, et non pas l'utiliser sans démo.

l'inégalité de hadamard est tres connue , je ne vois pas l'utilité de "recopier" la preuve ici (amicalement)

:p parce que un examinateur va le demander vu que c'est du hors programme et que c'est un oral

Il serait préférable de poser une solution au problème n°3 à fin d'avancer dans le marathon.

le corps dans le problème 3 est le corps de décomposition du polynôme cyclotomique PHI_n.
si zeta_n est une racine primitive de l'unité alors le corps Q(zeta_n)/Q est notre corps recherché et s'appelle une extension cyclotomique, son degré est la dimension de Q-ev Q(zeta_n), est égale au degré du polynôme minimal de zeta_n =deg(PHI_n)=phi(n).....et c'est hors programme....

Bienvenu encore une fois,
C'est ce que j'ai constaté, bon c'est à toi de poser l'exo suivant.

0000

Bonjour.

P'(x) = 3x²+p.
p ne peut pas être positif car alors P' n'aurait pas de racines réelles.
Alors P'(x) = 3(x-√(-p/3))(x+√(-p/3)).
Les racines de P' sont entières distinctes si et seulement si p est le triple opposé d'un carré parfait.
C'est à dire il existe n appartenant à IN* tel que p = -3n².

De retour à P : P possède trois racines réelles seulement si q² + 4p³/27 < 0. Donc q doit vérifier cette hypothèse qu'on note (i).
De plus, la méthode de Cardan nous assure que les racines de P sont :
a = 2n.cos(arccos(-q/(2n³))/3) et b = 2n.cos((arccos(-q/(2n³)) + 2π)/3) et c = 2n.cos((arccos(-q/(2n³)) + 4π)/3).
Les seules valeurs entières prises par le cosinus sont -1,0,1.
Alors nécessairement {a,b,c} = {-2n,0,2n}.
Alors q = 0. (0 vérifie bien l'hypothèse (i) ce qui nous rassure dans notre démarche)
Et p = -4n².

Synthèse : p = -4n² = -3n², contradiction.
Il n'existe pas de tel entier, sauf erreur.

Matherror a écrit:

Bonjour.

P'(x) = 3x²+p.
p ne peut pas être positif car alors P' n'aurait pas de racines réelles.
Alors P'(x) = 3(x-√(-p/3))(x+√(-p/3)).
Les racines de P' sont entières distinctes si et seulement si p est le triple inverse d'un carré parfait.
C'est à dire il existe n appartenant à IN* tel que p = -3n².

De retour à P : P possède trois racines réelles seulement si q² + 4p³/27 < 0. Donc q doit vérifier cette hypothèse qu'on note (i).
De plus, la méthode de Cardan nous assure que les racines de P sont :
a = 2n.cos(arccos(-q/(2n³))/3) et b = 2n.cos((arccos(-q/(2n³)) + 2π)/3) et c = 2n.cos((arccos(-q/(2n³)) + 4π)/3).
Les seules valeurs entières prises par le cosinus sont -1,0,1.
Alors nécessairement {a,b,c} = {-2n,0,2n}.
Alors q = 0. (0 vérifie bien l'hypothèse (i) ce qui nous rassure dans notre démarche)
Et p = -4n².

Synthèse : p = -4n² = -3n², contradiction.
Il n'existe pas de tel entier, sauf erreur.

Il semble que j'aie fait une bêtise lors du passage colorié.
Merci de négliger cette réponse, en attendant une rectification.

$P=X^3+pX+q$
$P'=3X^2+p$
les racines sont entières distinctes ssi $p=-3k^2$ avec $k \in Z$
Pour le polynôme $P$, soient $a,b$ et $c$ les racines deux à deux distinctes et entières.
$P=(X-a)(X-b)(X-c)$
alors:
$a+b+c=0$ et $ab+bc+ca=-3k^2$
On remarque que $(k,k,-2k);(k,-2k,k);(-2k,k,k)$ et ses opposées sont solutions du système, et que au moins deux racines sont égales, On cherche d'autres solutions que celles ci, On prends donc a et b distinctes et on remplace c par sa valeur en fonction de a et b alors:
$a^2+ab+b^2=3k^2$
S'il y a solution à cette équation ça équivaut au fait qu'il existe un tel polynôme,
puisque les seuls figures de parité sont qu'un seul soit pair et 2 autres soient impaires ou qu'ils soient tous pairs, par symétrie on prends b pair:
$(a+b/2)^2+3/4b^2=3k^2$
Posons:
$3v=a+b/2$ et $u=b/2$ alors l'équation devient:
$u^2+3v^2=k^2$
cette équation classique n'admet de solution que ssi il existe un $r$ premier tel $r=1 mod 3$ et $r|k$.
Finalement la condition requise pour $p$ est $ p=-3k^2$ avec l'existence d'un premier qui divise k et dont le reste sur 3 est1.
Sauf erreur.

oui c'est bon ! à ton tour

(Problème 5 ENS)
La suite de Fibonacci est: 1,2,3,5,8,13,... et la suite des nombres premiers jumeaux est: 3,5,7,11,13,17,19,29,31...
quels nombres figurent dans les deux suites?

0000

C'est juste, à toi maintenant.

0000

On divisera le raisonnement en trois parties:
(a)
|w|=<2,
z_1,z_2 £ U
z_1+z_2=w <=> z_1 et z_2 sont les intersections de U avec le cercle {z; |w-z|=1}
z_1=z_2 ssi |w|=2

(b)
|w|>2 soit X=w/|w| £ U et p=[|w|]
alors |w-(p-z)X|=|w|-[|w|]+2=<2
Alors suivant (a) on peut trouver z_1 et z_2 de U
w=(p-z)X+z_1+z_2
donc w peut s'écrire comme la somme de [|w|] éléments de U.

(c)
Pour z_i £ U, on a |z_1+z_2+...z_n|=< |z_1|+...+|z_n|=n
avec l'égalité ssi arg(z_1)=arg(z_2)=...=arg(z_n).
Donc si |w|>n, w n'est pas la somme de n éléments de U, et si |w|=n, w est l'unique somme de n éléments de U donc z_1=...=z_n=w/|w|.
Supposons |w|<n and n>=3. Soit c £ U tq |w-c|<n-1. En utilisant la partie (a) et la récurrence sur n on peut supposer w-c=z_1+z_2+...+z_{n-1} pour certains nombres z_i £ U. Puisque c peut être choisi infiniment, il suit que w n'est pas une somme unique de n élément de U. Puisque la situation pour n=1 est claire.
Ces résultats montrent que w est une somme unique de n éléments de U ssi |w|=n ou n=2 et |w|=<2.

Sauf erreur.

ok c'est bon
à ton tour

Problème 7 ENS

Montrer que la suite (a_n)_n>=1 définie par a_n=[n sqrt(2)] contient une infinité d'entiers puissances de 2.

0000

ok, c'est bon. A ton tour

problème 8 ens

soit x un réel supérieur à 1. soit a_n=[x^n] pour n=1,2,3....
soit S le nombre décimal infini S=0,a_1a_2a_3.........(écriture décimale )
(par exemple si x= pi alors S=0,393197.)
est ce que c'est possible que S soit rationnel ?

S ne peut pas être rationnel.
Pour tout nombre naturel m, il existe u>0 suffisamment petit pour que 10^u £ [1,1+1/10^m].
Après, pour n'importe tels nombres m,u et pour tout a>0 il existe une infinité de naturels n tel que [na]>=m et {na} £ [0,u[.
Pour a=log_10 (x) , k=[na], et n vérifiant les conditions en haut.
On a y=x^n=10^(na)=10^[na] 10^{na} <10^k . 10^u
donc 10^k =<y < 10^k + 10^(k-m)
Enfin [x^n] commence par le chiffre 1 suivi par au moins m zéro. Donc l'expansion décimale de S a des long blocs arbitraires de zéros, une conclusion qui est un peu forte que l’irrationalité.
Sauf erreur.