Marathon d'Oraux

c'est bon à ton tour

Problème 9 ENS

Soit l'ensemble des nombres constitués de cinq chiffres et dont la représentation décimale est une permutation de 1,2,3,4 et 5.
Montrer que cet ensemble peut se diviser en deux sous ensembles, telle que la somme des carrés des nombres de chaque sous ensemble est la même.

ce problème est classique, tu peux voir sa solution dans le lien
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=469&t=150892

Merci pour le lien, même si j'ai déjà passé un coup d'oeil au PEN avant :p, en tous cas tu peux proposer qlq chose maintenant.

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Soit n!=a!b! avec a<b<n. Nous montrons au début que :
n<a+b<n+2*ln(n)/ln(2)+4 (1)
Pour voir ça, Définissons v_2(k) par 2^{v_2(k)) |k! et 2^{v_2(k)+1) ne divise pas k! .
On a :
v_2(k)= sum( [2^{-j}k], j=1..[lnk/ln2] ) >= sum( 2^{-j}k-1, j=1..[lnk/ln2] )> k-2- [ln(k)/ln(2)]
Puisque v_2(n)=v_2(a)+v_2(b) alors:
a+b<v_2(a)+ln(a)/ln(2)+2+v_2(b)+ln(b)/ln(2)+2
<v_2(n)+2ln(n)/ln(2)+4
<n+2 ln(n)/ln(2) +4
L'inégalité n<a+b est évidente.

Montrons a ln(a)> (n-b) ln(n) (2)
puisque n!=a!b! alors a!=produit(n-i,i=0..n-b-1)
et donc :
n^{-(n-b)} a! = n^{-(n-b)} produit(n-i,i=0..n-b-1) = produit(1-i/n,i=0..n-b-1) > produit(1-i/n,i=0..a-1)
>produit(1-i/a ,i=0..a-1)= a^{-a} a! ce qui donne le (2).

Supposons maintenant qu'il existe une infinité de nombres n,a et b tq n-b >=5 ln(ln(n)) sinon on aura C=5.
On peut supposer que n est assez grand .
En procédant par contradiction:
Par (2), on a: a ln(a) >5 ln(n). ln(ln(n)) pour n assez grand.
Puisque l'inégalité a=< 4 ln(n) impliquera aln(a) =< 5 ln(n) lnln(a)
d'où a>4 ln n pour n assez grand (3)
Par (1) et (2) on a
a ln a > (a-2 ln(n)/ln2 -4) ln(n) alors a ln(n/a) < 2(lnn/ln2 +4 )ln(n)
Ce qui implique
(4) a ln(n/a) < 3 ln(n)^2 pour n assez grand.
Mais puisque la dérivée deuxième par rapport à a de a*ln(n/a) = -1/a <0
et puisque 4ln(n)<a=<n/2 pour (3), la convexité implique:
aln(n/a)=> min(4ln(n)* ln(n/(4ln n)), n/2 ln(n/n/2) ) > 3 ln(n)^2
Ceci contredit (4) pour n assez grand.
Ceci complète le problème, en montrant que n-b < 5 ln(ln(n)) pour n assez grand.
Sauf erreur

Problème 10 Ulm
Soit S l'ensemble des nombres de la forme :
avec
Soit K le corps engendré par S.
Est ce que K=R ?

tu as fait une faute de frappe dans la phrase "Supposons maintenant qu'il existe une infinité de nombres n,a et b tq n-b >=5 ln(ln(5)) sinon on aura C=5." tu voulais dire n-b >=5 ln(ln(n)...
sinon c'est bon..

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C'est bon, franchement rien dire parfait !!
A ton tour!

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j'espérais une solution différente mais apparemment on ne peut pas se passer du Théorème de Dirichlet....
à ton tour

Problème 12 ens
Soit T(n)= n(n+1)/2 le n-ième nombre triangulaire.
F(n)=Card {(a,b,c) £ N, T(a)T(b)=T(c) et 1<a=<b<c=<n }
Montrer que
F(n)/n -> 0 lorsque n tend vers l'infini.

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Très bonne rédaction, c'est du solide .
A ton tour !!

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Merci pour le coup de main pour une meilleure rédaction

c'est juste j'attends ton exo

Je te propose un exercice que j'ai déjà posté dans la section arithmétique ici :
https://mathsmaroc.jeun.fr/t18130-defi-de-taille-ens-ulm
ou sur ce forum aussi:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=415927

Problème 14
Soit n de N.
On dit que arctan(n) est irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme : Arctan(n)= somme(m_i Arctan(n_i),i=1..k)
tq m_i de Z et n_i de N et n_i<n.
Si une telle représentation existe, dans ce cas arctan(n) est dit réductible.
Trouver tous les n dans N tels que arctan(n) est réductible.

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Bien vu, A toi.

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Tout à l'heure je posterai une autre solution qui comporte une expression pratique de S_n.