Préparations aux olympiades de tronc commun (2011-2012 )

T'as une démonstration pour l'inégalité de Tchebychey?

Par symétrie on suppose a>=b

donc a^2>=b^2

et 1/(a+1)=<1/(b+1)

D'aprés Tchebychey: a^2/(a+1)+b^2/(b+1) >=1/2 *(a^2+b^2)[1/(a+1)+1/(b+1)]

aminox pourquoi tchebychev :
Par C.S.:

J'att vos exercices

j'ai pas bien compris la premiére ligne

on fait la différence classique des deux cotés on retrouve donc après nnachr et les simplifications et ta3wid : ab- 1/4
on a : a+b -2Vab >=0
donc 1 -2Vab>=0
d'ou ab <= 1/4
et donc on constate le resultat

pour le 12
est ce que n^1/2 = Vn diablo ?

voici un exo
a et b sont des reels non nuls tel que : 3a - b +2Vab =0
calculez a/b

( I'm finally back )

Pour l'exo de rimetta "Facile":
3a - b +2Vab =0

AB=0 ==>A=0 ou B=0

La 1er n'a aucune réponse
La 2eme donne :
Sauf erreur

rimetta:pour le 12 est ce que n^1/2 = Vn diablo ?
OUI et:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}~~;~~x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}[/img]

diablo902 a écrit:

aminox pourquoi tchebychev :
Par C.S.:

J'att vos exercices

C'est la bonne et courte réponse ;

Pour C.S.:
x;y >0
(x²+x'²)(y²+y'²)>=(xy+x'y')²

ok merci

rimetta a écrit:

ok merci

Pas de quoi

Salut,j'ai résolu l'exo de rimetta avec une autre méthode:(Je l'ai résolu dans R*+)

On a: 3a-b+2V(ab)=0

Donc: 3a =b-2V(ab)

<==> 4a=a+b-2V(ab)=(Va+Vb)^2
<==> 4=[1+V(b/a)]^2
<==> V(b/a)=3
<==> b/a=9

On conclue donc que: a/b=1/9

Bonjour, voici un nouveau exo
a, b appartiennent à IN
(1+V2)^2006= a+bV2
calculez:
a²+2b²

(1+V2)²=3+2V2 ; (1+V2)^4=17+12V2 . . . . .(1+V2)^2006= a+bV2
(1-V2)²=3-2V2 ; (1-V2)^4=17-12V2 . . . . .(1-V2)^2006= a-bV2
Donc a²-2b²= (a+bV2)( a-bV2)=1
J'att Vos Exos

Pourquoi : a^2+2b^2=(a+bV2)(a-bV2)

c'est moins : juste une faute de frappe j'espere
je pense que c'est un exo du manuel de l'année dernière

nn c pas une faute de frape parce que on veut pas savoir combien égale (a²-2b²) ,on veut savoir (a²+2b²)

faute de frappe même f l'énoncé on peut pas CALCULER a^2 +2b^2

T'as raison Rimetta, c'est une faute de frappe. Bravo Diablo! c'est très facile

voila un ex:
soit a,b,c, et d des reels strictement positifs montrez que
1< a/(a+b+d) +b/(a+b+c) +c/(b+c+d) +d/ (a+c+d) < 2

Un autre exo
Montrer que :
1000000000000000000001
N’est pas un nombre premier.

ma solution pour l'exo de oiga
on a 1000000000000000000001 = 10^21 +1
= (10^7)^3 +1^3
= (10^7+1)(10^14 + 10^7 + 1)
et donc ce n'est pas un nombre premier

Bonsoir Rimetta
La réponse
je vais la diviser en deux parties
voici la première partie:
1< a/(a+b+d) +b/(a+b+c) +c/(b+c+d) +d/ (a+c+d) < 2

d'abord on démontre que 1< a/(a+b+d) +b/(a+b+c) +c/(b+c+d) +d/ (a+c+d)
On a a , b , c et d strictement positives
alors
a+b+d<a+b+c+d <==> 1/(a+b+d) > 1/(a+b+c+d) <==> a/(a+b+d) > a/(a+b+c+d)
a+b+c<a+b+c+d <==> 1/(a+b+c) > 1/(a+b+c+d) <==> b/(a+b+c) > b/(a+b+c+d)
b+c+d<a+b+c+d <==> 1/(b+c+d) > 1/(a+b+c+d) <==> c/(b+c+d) > c/(a+b+c+d)
a+c+d<a+b+c+d <==> 1/(a+c+d) > 1/(a+b+c+d) <==> d/(a+c+d) > d/(a+b+c+d)
alors, en faisant la somme des quatres inégalités, on trouve que
a/(a+b+d) +b/(a+b+c) +c/(b+c+d) +d/ (a+c+d) > (a+b+c+d)/(a+b+c+d)
a/(a+b+d) +b/(a+b+c) +c/(b+c+d) +d/ (a+c+d) > 1

La 2eme Partie Je pense qu'il faut utiliser TchebyShev

La deuxième partie
a/(a+b+d) +b/(a+b+c) = a(a+b+c)+b(a+b+d)/(a+b+c)(a+b+d)
= (a²+ab +ac +ba+b²+bd)/(a²+ab+ad+ba+b²+bd+ca+cb+cd)
= (a²+2ab+ac+bd+b²)/(a²+2ab+ac+bd+b²+ad+cb+cd)
et puisque a, b,c ,c sont strictement positifs
a²+2ab+ac+bd+b²< a²+2ab+ac+bd+b²+ad+cb+cd
alors
(a²+2ab+ac+bd+b²)/(a²+2ab+ac+bd+b²+ad+cb+cd)<1
a/(a+b+d) +b/(a+b+c) <1
Par la même façons on démontre que
c/(b+c+d) +d/ (a+c+d) < 1
et en faisons la somme
a/(a+b+d) +b/(a+b+c) +c/(b+c+d) +d/ (a+c+d) < 2
d'après les deux parties
1< a/(a+b+d) +b/(a+b+c) +c/(b+c+d) +d/ (a+c+d) < 2