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 Arithmétique

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diablo902
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MessageSujet: Arithmétique   Arithmétique EmptyVen 30 Déc 2011, 04:26

Prouver que si p est premier et si 8p-1 est aussi premier 8p+1 est composé
Very Happy
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T.Anas
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MessageSujet: Re: Arithmétique   Arithmétique EmptySam 31 Déc 2011, 15:48

Bonjour Very Happy ,
J'ai galéré en recherchant toutes les propriétés possibles sur les nombres premiers jumeaux, j'ai utilisé une, je ne sais quoi, caractérisation modulaire des nombres premiers jumeaux. Je raisonnais par absurde et j'essayais de trouver une contradiction, mais finalement j'ai essayé ce résultat pour certain nombre et cela m'a énormément aidé ( voici une leçon que je n'oublierai pas Very Happy ) :

Si p premier alors : p = 2, ou p =3, ou p congru a 1 ou 2 modulo 3
Les deux premiers cas sont vérifiés
Si p = 3 k + 1 , (k entier ) alors directement on a 8 p + 1 = 24 k + 9 = 3 ( 8 k + 3 ). Donc 9p + 1 premier si et seulement 8 k + 3 = 1. Contradiction avec le fait que k entier.
Si p = 3 k + 2, alors 8 p - 1 = 24 k + 15 = 3 ( 8 k + 3 ), qui n'est premier que si 8 k + 3 = 1. Contradiction

Merci pour l'exo Wink







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T.Anas
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MessageSujet: Re: Arithmétique   Arithmétique EmptySam 31 Déc 2011, 15:50

Finalement, il est vraiment bizarre ton exo. Tu l'as crée toi même? Very Happy
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diablo902
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MessageSujet: Re: Arithmétique   Arithmétique EmptySam 31 Déc 2011, 15:58

Non! Pourquoi cette question ?Si tu veux la source je te donnerais .
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T.Anas
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MessageSujet: Re: Arithmétique   Arithmétique EmptySam 31 Déc 2011, 16:21

oui j'aimerais avoir la source qi tu le permets Wink
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diablo902
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MessageSujet: Re: Arithmétique   Arithmétique EmptySam 31 Déc 2011, 16:55

The USSR Olympiad Problem Book page 18
T.Anas a écrit:
Bonjour Very Happy ,
J'ai galéré en recherchant toutes les propriétés possibles sur les nombres premiers jumeaux, j'ai utilisé une, je ne sais quoi, caractérisation modulaire des nombres premiers jumeaux. Je raisonnais par absurde et j'essayais de trouver une contradiction, mais finalement j'ai essayé ce résultat pour certain nombre et cela m'a énormément aidé ( voici une leçon que je n'oublierai pas Very Happy ) :

Si p premier alors : p = 2, ou p =3, ou p congru a 1 ou 2 modulo 3
Les deux premiers cas sont vérifiés
Si p = 3 k + 1 , (k entier ) alors directement on a 8 p + 1 = 24 k + 9 = 3 ( 8 k + 3 ). Donc 9p + 1 premier si et seulement 8 k + 3 = 1. Contradiction avec le fait que k entier.
Si p = 3 k + 2, alors 8 p - 1 = 24 k + 15 = 3 ( 8 k + 3 ), qui n'est premier que si 8 k + 3 = 1. Contradiction

Merci pour l'exo Wink
8k+5
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T.Anas
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MessageSujet: Re: Arithmétique   Arithmétique EmptySam 31 Déc 2011, 17:32

Merci pour le livre et pour la correction, si t'as dautres méthodes ou simplement une idée, faudrait que tu la partage Wink
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MessageSujet: Re: Arithmétique   Arithmétique Empty

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