Arithmétique

Prouver que si p est premier et si 8p-1 est aussi premier 8p+1 est composé

Bonjour ,
J'ai galéré en recherchant toutes les propriétés possibles sur les nombres premiers jumeaux, j'ai utilisé une, je ne sais quoi, caractérisation modulaire des nombres premiers jumeaux. Je raisonnais par absurde et j'essayais de trouver une contradiction, mais finalement j'ai essayé ce résultat pour certain nombre et cela m'a énormément aidé ( voici une leçon que je n'oublierai pas ) :

Si p premier alors : p = 2, ou p =3, ou p congru a 1 ou 2 modulo 3
Les deux premiers cas sont vérifiés
Si p = 3 k + 1 , (k entier ) alors directement on a 8 p + 1 = 24 k + 9 = 3 ( 8 k + 3 ). Donc 9p + 1 premier si et seulement 8 k + 3 = 1. Contradiction avec le fait que k entier.
Si p = 3 k + 2, alors 8 p - 1 = 24 k + 15 = 3 ( 8 k + 3 ), qui n'est premier que si 8 k + 3 = 1. Contradiction

Merci pour l'exo

Finalement, il est vraiment bizarre ton exo. Tu l'as crée toi même?

Non! Pourquoi cette question ?Si tu veux la source je te donnerais .

oui j'aimerais avoir la source qi tu le permets

The USSR Olympiad Problem Book page 18

T.Anas a écrit:

Bonjour ,
J'ai galéré en recherchant toutes les propriétés possibles sur les nombres premiers jumeaux, j'ai utilisé une, je ne sais quoi, caractérisation modulaire des nombres premiers jumeaux. Je raisonnais par absurde et j'essayais de trouver une contradiction, mais finalement j'ai essayé ce résultat pour certain nombre et cela m'a énormément aidé ( voici une leçon que je n'oublierai pas ) :

Si p premier alors : p = 2, ou p =3, ou p congru a 1 ou 2 modulo 3
Les deux premiers cas sont vérifiés
Si p = 3 k + 1 , (k entier ) alors directement on a 8 p + 1 = 24 k + 9 = 3 ( 8 k + 3 ). Donc 9p + 1 premier si et seulement 8 k + 3 = 1. Contradiction avec le fait que k entier.
Si p = 3 k + 2, alors 8 p - 1 = 24 k + 15 = 3 ( 8 k + 3 ), qui n'est premier que si 8 k + 3 = 1. Contradiction

Merci pour l'exo

8k+5

Merci pour le livre et pour la correction, si t'as dautres méthodes ou simplement une idée, faudrait que tu la partage