Convexitte d'une fonction : Niveau difficile

Salut ,
Je bloque sur un exo de Sup :
Soit A une partie non vide , x £ R .
On note d(x,A)= inf{|x-a|,a£A}

Soit g : R------>R
x------>d(x,A)

Montrer que g est convexe .

Merci pour votre Help !

Salut,

La partie A devrais être convexe d'abord ! Pour montrer que g est convexe :

Soit x,y dans R, soit c dans [0,1]

soit Epsilon>0 il existe z,w dans A tq : |x-z|<d(x,A)+Epsilon et |y-w|<d(y,A)+Epsilon ¤

on a alors g(cx+(1-c)y) < |cx+(1-c)y - cz+(1-c)w| (puisque A convexe, on a cz+(1-c)w appartient à A)
< |c(x-z) + (1-c)(y-w)|
< c|(x-z)| + (1-c)|(y-w)|
(puis par ¤ on conclut) < cg(x)+(1-c)g(y) + Epsilon

Edit : Toutes les inegalités sont larges !

Bonne soirée

Bonsoir,
Nous avons dans |R :
i) inf(A+B)=inf(A)+inf(B)
ii) si q>0 alors inf(qA)=q(inf(A))
Soit q tq 0<q<1 on a :
g(q*x+(1-q)*y)=inf {|q*x+(1-q)*y-a|, a appr A}
=inf {|q*x+(1-q)*y-q*a+(1-q)*a|, a appr A}
=inf {|q*(x-a)+(1-q)*(y-a)|, a appr A}
<= inf{|q*(x-a)|+(1-q)*|(y-a)|}
En vértu de i) et ii) on obtien la convexité de g.