polynôme de 2 variables

Soit P(x,y) un polynôme en x et en y a coefficients réels. On suppose que P(x,y)=0 pour tous réels x et y tels que x²+y²=1. Montrer que P(x,y) est divisible par x²+y²-1.

P est nul sur le cercle unitaire, i.e quelques soit t, on a P(cos(t),sin(t))=0.
Faisant la division euclidienne de P par le polynôme (x^2+y^2-1). Il existe un polynôme Q et R tel quel P(x,y)=(x^2+y^2-1)*Q(x,y)+R(x,y).Le polynôme R peut être vu un polynôme en Y dans R[X] de degré inférieur ou égal à 1, ce qui fait on peut écrire R(x,y)=A(x)*y+B(x) avec A et B deux polynômes en x.

On a par suite pour tout t, R(cos(t),sin(t))=A(cos(t))*sin(t)+B(cos(t))=0,en changeant t par -t et via la partié de cos et sin, on aura -A(cos(t))*sin(t)+B(cos(t))=0, ainsi B(cos(t))=0. Ainsi B a une infinité de zéros, ce qui implique B=0. Et l'on a aussi A(cos(t))*sin(t)=0, A a également une infinité de zéros, A=0.

cqfd.