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 équation intéressante

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lamperouge
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MessageSujet: équation intéressante   Lun 30 Juil 2012, 21:01

Résudre en R²+ l'equatin suivante :
x^x=y^y
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princessdesmaths
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 11:00

lamperouge a écrit:
Résudre en R²+ l'equatin suivante :
x^x=y^y
x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin Surprised
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lamperouge
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 12:43

princessdesmaths a écrit:

x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin Surprised
Je ne peux rien affirmer vu que je ne connais po trop en fonctions logarythme et exponentiels (On n'as po encore étudié)
néanmoins j'ai utilisé une méthode où on n'as po besoin de passer par les intégrales et qui mène diréctement à la solution . Je vous laisse le temps d'y réfléchir Wink


Dernière édition par lamperouge le Mar 31 Juil 2012, 13:07, édité 1 fois
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princessdesmaths
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 13:05

lamperouge a écrit:
princessdesmaths a écrit:

x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin Surprised
Je ne peux rien affirmer vu que je ne connais po trop en intégrales et fonctions exponentiels (On n'as po encore étudié)
néanmoins j'ai utilisé une méthode où on n'as po besoin de passer par les intégrales et qui mène diréctement à la solution . Je vous laisse le temps d'y réfléchir Wink
Amicalement
je trouverai du temps pour s'y mettre une fois que j'eu fini mes concours Wink
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Oty
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 15:23

l'equation est symétrique , quitte a assumer x>=y , si x > y alors x^x >y^x >y^y d'ou la seul possibilité x=y . @princessedemaths verifie si f(x)=xln(x) est injective (monotone sur R+) tongue
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princessdesmaths
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 15:45

Oty a écrit:
l'equation est symétrique , quitte a assumer x>=y , si x > y alors x^x >y^x >y^y d'ou la seul possibilité x=y . @princessedemaths verifie si f(x)=xln(x) est injective (monotone sur R+) tongue
ouais bonne idée Very Happy merci Wink
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lamperouge
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 17:35

Oty a écrit:
l'equation est symétrique , quitte a assumer x>=y , si x > y alors x^x >y^x >y^y d'ou la seul possibilité x=y . @princessedemaths verifie si f(x)=xln(x) est injective (monotone sur R+) tongue

nn l'implication que tu as fait n'est po valable pour tt x et y de R+ elle n'est valable que pour des réels x et y supérieur strictement a 1
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Oty
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 20:53

bon alors je vais clarifier un peu plus : pour x>y>0 ,=> il exist un t>1 tel que x=ty , soit x^x=ty^ty=(t)^ty . y^ty =b^y . c^t ou c=y^y et b=t^t , b^y . c^t - c= c(b^y.c^{t-1}-1) = 0 donc c=0 implique y=0 et x=0 , ou (b^y)(c^{t-1})=1 soit ( by^t-1)^y=1 soit b(y^{t-1})=1 => (ty)^t = y ce qui impossible car t>1 d'ou x=y sont les seul solution , on a tu trouvé d'autre ?
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princessdesmaths
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 20:57

lamperouge a écrit:
princessdesmaths a écrit:

x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin Surprised
Je ne peux rien affirmer vu que je ne connais po trop en fonctions logarythme et exponentiels (On n'as po encore étudié)
néanmoins j'ai utilisé une méthode où on n'as po besoin de passer par les intégrales et qui mène diréctement à la solution . Je vous laisse le temps d'y réfléchir Wink

je n'ai pas utilisé l'integrale Razz
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princessdesmaths
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 21:08

je reviens sur ma methode , pour detailler mon point de vue , je n'ai fait que traduire l'equation en fonction :
on x^x=y^y
implique que xln(x) = yln(y)
prenons maintenant la fonction a variable réel strictement psitif :
pour tout x appartenant a IR+* : f(x) = xln(x)
alors f'(x) = ln(x)+1
il suffit de tracer le tableau de variation et deja la fonction f est continue Wink
dans les deux intervalles il s'agit d'une fonction monotone ce qui implique que f etablie une bijection , d'où : x=y solution .
ça va ?
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lamperouge
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 21:21

nn il existe d'autres solutions avec x=/=y
Exemples:
x=1/4 et y=1/2
x=V3/9 et y=V3/3
etc .........
Bref il existe une infinité de solutions avec x=/=y
(Je posterai ma solution demain )
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princessdesmaths
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mar 31 Juil 2012, 21:28

lamperouge a écrit:
nn il existe d'autres solutions avec x=/=y
Exemples:
x=1/4 et y=1/2
x=V3/9 et y=V3/3
etc .........
Bref il existe une infinité de solutions avec x=/=y
(Je posterai ma solution demain )
maintenant , il faut tout d'abord trouver la faute que j'ai comise Neutral
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lamperouge
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mer 01 Aoû 2012, 00:37

Oty a écrit:
bon alors je vais clarifier un peu plus : pour x>y>0 ,=> il exist un t>1 tel que x=ty , soit x^x=ty^ty=(t)^ty . y^ty =b^y . c^t ou c=y^y et b=t^t , b^y . c^t - c= c(b^y.c^{t-1}-1) = 0 donc c=0 implique y=0 et x=0 , ou (b^y)(c^{t-1})=1 soit ( by^t-1)^y=1 soit b(y^{t-1})=1 => (ty)^t = y ce qui impossible car t>1 d'ou x=y sont les seul solution , on a tu trouvé d'autre ?

pk ce qui est en rouge est impossible
Si y est inférieur à 1 c tt à fait possible
Continue tu y es presque Wink
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lamperouge
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mer 01 Aoû 2012, 00:46

princessdesmaths a écrit:

maintenant , il faut tout d'abord trouver la faute que j'ai comise Neutral


Je ss vraiment désolé mais je n'ai aucune connaissance sur les propriétés de ln(x) donc je ne vois po comment je pourrais remarquer la faute que tu as commise ts ce que je peux confirmer est que f(x)=x^x n'est po bijective sur R+
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lamperouge
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mer 01 Aoû 2012, 15:41

Bon je propose une solution pour cette équation :
soit x et y des solutions de l'équation
Il est clair que x=0 ne verifie pas l'equation et même chose pour y=0
donc soit x et y tt deux differents de 0
et Posons y=rx tel que r£R
l'equation deviendra alrs :
x^x=((rx)^r)^x
(i.e) x=(rx)^r
(i.e) x^(r-1)=(1/r)^r
(i.e) x=(1/r)*((1/r)^(1/r-1)) et y =(1/r)^(1/r-1)
et il est facil de vérifier que c bel et bien les solutions de l'équation
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Oty
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Mer 01 Aoû 2012, 16:11

lamperouge a écrit:
Bon je propose une solution pour cette équation :
soit x et y des solutions de l'équation
Il est clair que x=0 ne verifie pas l'equation et même chose pour y=0
donc soit x et y tt deux differents de 0
et Posons y=rx tel que r£R
l'equation deviendra alrs :
x^x=((rx)^r)^x
(i.e) x=(rx)^r
(i.e) x^(r-1)=(1/r)^r
(i.e) x=(1/r)*((1/r)^(1/r-1)) et y =(1/r)^(1/r-1)
et il est facil de vérifier que c bel et bien les solutions de l'équation
oui au début j'etais convaincu que les seul solution etait si x=y c'est pour ca que je n'ai pas pousser ma tentative jusqu'a la fin , mais apres tes contres exemples j'ai trouvé cette forme aussi Smile , Bravo . en effet (ty)^t=y donne y^{t-1}=1\t^t .... tongue
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amine-crazy
Débutant


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MessageSujet: Re: équation intéressante   Dim 05 Aoû 2012, 17:46

X=Y pourquoi vous compliquez les choses Very Happy
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Mohammed_Lahlou
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MessageSujet: Re: équation intéressante   Dim 05 Aoû 2012, 18:28

amine-crazy a écrit:
X=Y pourquoi vous compliquez les choses Very Happy
amine regarde en haut la réponse d'Oty, x=y n'est pas la seule solution.
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