jolie inégalité

soient a,b et c trois réels tels que abc=1. Montrer que :

(a+b)/(a+b+ab)+(b+c)/(b+c+bc)+(c+a)/(c+a+ca)≥2

soit .:: a=x/y ; b=y/z ; c=z/x et x>=y>=z alors :; x^2>=xy ....


LHS=sigma [(xz+y^2)/(xz+xy+zy)] >= sigma[(xz+yz)/(xz+xy+zy) >= 2

C'est faux car on n'a pas z^2>xy.

(a+b)/(a+b+ab)+(b+c)/(b+c+bc)+(c+a)/(c+a+ca)
=3-(ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca))=<2
si ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca)>=1

par C.S
(ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca))(ab(a+b+ab)+bc(b+c+bc)+ca(c+a+ca))
>= (ab+ac+bc)^2
il suffit alors que (ab+ac+bc)^2>=ab(a+b+ab)+bc(b+c+bc)+ca(c+a+ca)

<==>
(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+2(a+b+c)
>=a^2b+ab^2+(ab)^2+b^2c+bc^2+(bc)^2+ac^2+a^2c+(ca)^2

<==>
2(a+b+c)>=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+a^2c a faire

radouane_BNE a écrit:

C'est faux car on n'a pas z^2>xy.

LHS=sigma [(xz+y^2)/(xz+xy+zy)] =(xz+yz+yx+x^2+z^2+y^2)/(xy+yz+zx) >= 2

car x^2+y^2+z^2 >=xy +yz+zx

killua 001 a écrit:

LHS=sigma [(xz+y^2)/(xz+xy+zy)] =(xz+yz+yx+x^2+z^2+y^2)/(xy+yz+zx) >= 2

Malheureusement ton calcul est encore faux car LHS=sigma [(xz+y^2)/(xz+xy+y^2)] .

abdelbaki.attioui a écrit:

(a+b)/(a+b+ab)+(b+c)/(b+c+bc)+(c+a)/(c+a+ca)
=3-(ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca))=<2
si ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca)>=1

par C.S
(ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca))(ab(a+b+ab)+bc(b+c+bc)+ca(c+a+ca))
>= (ab+ac+bc)^2
il suffit alors que (ab+ac+bc)^2>=ab(a+b+ab)+bc(b+c+bc)+ca(c+a+ca)

<==>
(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+2(a+b+c)
>=a^2b+ab^2+(ab)^2+b^2c+bc^2+(bc)^2+ac^2+a^2c+(ca)^2

<==>
2(a+b+c)>=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+a^2c a faire

l'inégalité à prouver est plutôt ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca) =< 1
car on cherche à prouver que 3-(ab/(a+b+ab)+bc/(b+c+bc)+ca/(c+a+ca))>=2

petit retour , voici ma solution
remarquant que :

ou x=1\a et y=1\b et z=1\c , xyz=1 .
d'ou il suffit de prouver que :

équivalent a :

ou m=x+y+z >=3 et n=xy+yz+xz >=3 .
puisque :

la dernière inégalité est AM-GM ce qui nous donne égalité si a=b=c=1 .

radouane_BNE a écrit:

killua 001 a écrit:

LHS=sigma [(xz+y^2)/(xz+xy+zy)] =(xz+yz+yx+x^2+z^2+y^2)/(xy+yz+zx) >= 2

Malheureusement ton calcul est encore faux car LHS=sigma [(xz+y^2)/(xz+xy+y^2)] .

ah oui ---

Plus simplement:

Remarquons que pour tous réels positifs et non nuls on a



Ainsi







Il suffit alors de sommer cycliquement les autres inégalités

c'est très joli Vz

Bravo Vz

en effet si on pose a=xy/z² , b=xz/y² , c=yz/x² .
ça équivaut à \sum (ab)/(a+b+ab)=<1 <==> \sum (xyz)/(x^3+y^3+xyz) =<1
ce qui est vrai car x^3+y^3>=xy(x+y) d'ou la conclusion .

PS : on a montré que (ab)/(a+b+ab)=<x/(x+y+z) , or l'inégalité est homogéne en x,y,z donc on peu supposer que xyz=1 donc x=c^(-1/3)
D'où ab/(a+b+ab)=<(c^(-1/3))/a^(-1/3)+b^(-1/3)+c^(-1/3)) !
qui parait originale comme inégalité et donne une belle solution ( celle présentée par VZ)!

il existe une solution sans theorème mais avec bcp de calcul !