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 difficile!!!

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younesmath2012
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younesmath2012

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MessageSujet: difficile!!!   difficile!!! EmptyMer 31 Oct 2012, 13:47

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bel_jad5
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MessageSujet: Re: difficile!!!   difficile!!! EmptyMer 31 Oct 2012, 17:50

Quelqu un peut confirmer les calculs...

Soit (a0,b0,c0) le point ou le max est atteint. Sans perte de generalite, on peut supposer b0>=a0>=c0 et x un reel, posons: f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+4abc

* Pour (a0,b0,c0) n est pas sur le bord (afin de pouvoir varier x dans les deux directions +x et -x )
Alors: f(a0+x,b0,c0-x)-f(a0,b0,c0) = x(6-7b0)(a0-c0+x) <=0 car (a0,b0,b0) point extremum
et pour f(a0-x,b0,c0+x)-f(a0,b0,c0)=-x(6-7b0)(a0-c0-x)<=0 car (a0,b0,b0) point extremum

Pour x suffisamment petit cela implique que 6-7b0 = 0 d ou b0 = 6/7

En remplacant on trouve que f(a0,6/7,c0) = 728/343 <9/4

* Pour (a0,b0,c0) sur le bord alors forcement b0=1: et a0+c0 = 1
f(a0,1,c0) = a0^3+1+(1-a0)^3+4a0(1-a0)=1+a0^2-a0(1-a0)+(1-a0)^2+4a0(1-a0)=2+a0(1-a0) <=2+1/4=9/4 avec egalite quand a0 = 1/2

Ainsi le max est atteint pour (a0,b0,c0) = (1/2,1,1/2) et la valeur maximale est: 9/4



Dernière édition par bel_jad5 le Jeu 01 Nov 2012, 11:39, édité 2 fois
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younesmath2012
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younesmath2012

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MessageSujet: Re: difficile!!!   difficile!!! EmptyMer 31 Oct 2012, 22:27

bel_jad5 a écrit:
Quelqu un peut confirmer les calculs...

Soit (a0,b0,c0) le point ou le max est atteint. Sans perte de generalite, on peut supposer b0>=a0>=c0 et x un reel, posons: f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+4abc

Alors: f(a0+x,b0,c0-x)-f(a0,b0,c0) = x(6-7b0)(a0-c0+x) <=0 car (a0,b0,b0) point extremum
et pour f(a0-x,b0,c0+x)-f(a0,b0,c0)=-x(6-7b0)(a0-c0-x)<=0 car (a0,b0,b0) point extremum

Pour x suffisamment petit cela implique que 6-7b0 = 0 d ou b0 = 6/7

En remplacant on trouve que f(a,6/7,c) = 728/343 < 9/4 ainsi le max est atteint pour les triplets de la forme (a,6/7,8/7-a) et la valeur max = 728/343

Mr "bel_jad5" est ce que tu peut nous trouver une simple methode svp !!!
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